驅動微梁形狀對微陀螺儀耦合誤差的影響分析*

郝淑英,張辰卿,齊成坤,李會杰,張昆鵬,陳 煒

(1.天津市先進機電系統設計與智能控制重點實驗室,天津 300384;2. 機電工程國家級實驗教學示范中心(天津理工大學),天津 300384)

微機械陀螺儀是一種利用哥氏效應來測量物體轉動角速率的慣性傳感器,與傳統的陀螺儀相比,具有性價比高、尺寸小、重量輕以及動態性能好等特點,廣泛應用于航空航天、軍事、汽車工業和消費電子等領域[1]。由于微陀螺儀是基于微機械加工技術而研制成的新型陀螺儀,加工的相對精度較低,且一次成型,尺寸無法修正,易產生加工誤差[2]。所以微陀螺儀會經常存在支撐梁剛度不對稱的現象,導致驅動運動耦合到檢測方向從而導致陀螺儀的輸出產生偏差,嚴重影響了微機械陀螺儀的性能[3],因此分析由支撐梁加工誤差引起的正交耦合以及模態耦合現象十分必要。

侯占強[4]研究了彈性梁制造誤差對微陀螺零偏穩定性的影響機理,以及抑制方法。劉學[5]等提出了一種正交誤差閉環控制自補償方法,降低了正交誤差,使微陀螺零偏輸出均值從778 mV減小到了2 mV。施芹[6]等人對不等彈性、阻尼不對稱、質量不對稱這3種加工誤差引起的機械耦合誤差進行了理論分析,指出正交耦合誤差是機械耦合誤差中主要的誤差信號,且主要誤差源是支撐梁不對稱。裘安萍[7]以一種SZG1微陀螺為研究對象,通過對內、外支撐梁的結構改進,有效地減小了微陀螺的正交誤差。鄭怡文[8]等全面分析了正交誤差產生的主要因素,并論述了如何減小加工誤差帶來的正交誤差。姜劭棟[9]等人建立了正交耦合系數的理論分析模型,提出了加工誤差和正交耦合系數的關系,指出加工誤差影響最大的情況是同一對角線上微梁的尺寸同時增大或減小。賀琨[10]等人提出了振動結構支撐梁的加工誤差會引起結構剛度不對稱并產生模態耦合誤差,并采用紫外激光微細加工技術進行修正,使微陀螺樣機模態耦合誤差信號的峰值從2.88 V降低到0.24 V。

考慮同一對角線兩驅動微梁的梁寬同時減小或增大的加工誤差情況對檢測質量塊在驅動模態時的耦合程度影響最大[11],本文以同一對角線上微梁的尺寸同時增大或減小這一影響最大的加工誤差的梳狀微陀螺為研究對象,研究U形微梁一端梁長變化對微陀螺正交耦合、模態耦合以及對輸出信號的影響,為微陀螺微梁設計、誤差修正及補償提供指導。

1 梳狀微陀螺的有限元模型的驗證

直彈性梁在加工時,經過高溫氧化、鍵合和摻雜等許多工藝,都會使其結構產生加大的殘余應力,對微陀螺的靈敏度、帶寬等性能產生影響。為降低直彈性梁對微陀螺帶來的不利影響,本文在保持微梁剛度不變的條件下,設計了驅動微梁為U型梁和檢測微梁為蟹腳型梁的微陀螺模型,將文獻[12]中的直梁微陀螺改進成蟹腳型和U型梁,改進后的模型如圖1所示。本文選擇solid195單元,采用多晶硅材料參數,其密度ρ=2.33×103kg/m3,泊松比μ=2.78,彈性模量E=169 GPa,采用自動劃分網格方式,為保證計算精度選用自動網格化分中精度最高的等級,共劃分了38 478個單元,微陀螺的有限元模型如圖2所示,微陀螺驅動模態的等效質量為mx=2.007×10-9kg,檢測模態的等效質量為my=0.907×10-9kg。有限元分析得出驅動模態的固有頻率ωd=29.64 kHz,檢測模態固有頻率ωs=29.90 kHz。

圖2 微陀螺有限元分析模型

采用能量法求出U形梁驅動方向和蟹腳梁檢測方向的剛度表達式[5]為:

驅動模態和檢測模態的固有頻率為:

(1)

由式(1)計算得驅動模態和檢測模態對應的固有頻率值為30.30 kHz、30.49 kHz;與有限元結果比較可知驅動模態固有頻率誤差為2.18%,檢測模態固有頻率誤差為1.94%,由此驗證了有限元分析模型及分析方法的可靠性。

2 驅動微梁形狀對正交耦合誤差的影響

加工誤差導致各微梁的剛度產生差異導致結構的彈性不對中即剛度矩陣為非對角陣,使得檢測質量塊的運動軌跡不再是與驅動軸線重合,驅動方向和檢測方向不能完全垂直,即使沒有輸入角速度,驅動振動也會在檢測方向產生一個誤差分量,因此在加工誤差不可避免的情況下,有必要對支撐梁形狀對正交誤差的影響規律進行分析。微陀螺儀驅動支撐梁的總剛度矩陣為:

同一對角線兩驅動微梁的梁寬同時減小(或增大)的加工誤差情況下微陀螺的梁寬不等結構如圖1所示。鑒于其他兩種情況下的梁寬誤差對系統的影響比較小,選擇在模態耦合最嚴重的微梁梁寬誤差下研究不同微梁形狀對梳狀微陀螺驅動模態耦合的影響規律,圖中的Δi(i=1,2,3,4)是驅動微梁梁寬的相對誤差。驅動微梁的彈性剛度與慣性矩成正比,是梁寬b的三次方,當Δ很小時,可忽略Δ的高階項,得到微陀螺驅動方向的剛度矩陣[7]為:

(2)

kxx為x軸方向的剛度,kyy為y方向的剛度,kφzφz為繞z轉動的剛度,kxy為x軸和y軸之間的耦合剛度,kxφz為x軸和繞z軸之間的耦合剛度,kyφz為y軸和繞z軸之間的耦合剛度。本文取梁寬誤差為:Δ1=Δ4=5%,Δ2=Δ3=-5%,將Δi(i=1,2,3,4)值分別代入式(2)得:

(3)

U型梁在檢測方向以及耦合方向的剛度系數為:

(4)

(5)

當彈性系統的總剛度矩陣的非對角線上的元素不為零,在沒有角速度輸入時,驅動方向x的運動會傳導至檢測方,沿檢測方向y產生位移,此時驅動模態下檢測方向和驅動方向的位移比值為:

(6)

考慮式(3)由式(6)得:

(7)

根據式(7)得出同一對角線兩驅動微梁的梁寬同時減小(或增大)的加工誤差情況下微陀螺正交耦合誤差隨梁長h1的變化規律如圖3所示。

圖3 正交耦合誤差隨梁長h1的變化規律

微梁加工誤差導致的正交耦合誤差隨著梁長h1長度的增加呈現先增后減的變化規律,當h1=30 μm～32 μm時微陀螺驅動與檢測方向正交耦合程度達到峰值;此后,正交耦合程度隨h1不斷增大而逐漸減小,當h1=70 μm即微梁變成等長U型梁時,正交耦合誤差為零。所以在設計微梁形狀的時候要盡量選擇等長U型梁或者直彈性梁。這樣才能最大化降低因正交耦合誤差帶來的影響,同時在加工中應從工藝上改進,盡量減少兩對角線微梁尺寸相同的加工誤差。

3 驅動微梁形狀對模態耦合的影響

由加工誤差導致的彈性不對稱會引起模態耦合即在驅動模態時檢測質量塊會沿檢測方向發生移動,反之亦然,由此造成微陀螺在檢測方向出現較大的干擾信號。圖4～圖6分別表示當h1為0 μm、32 μm、70 μm時微陀螺的驅動模態和檢測模態。

圖4 h1為0 μm時微陀螺工作模態圖

圖5 h1為32 μm時微陀螺工作模態圖

圖6 h1為70 μm時微陀螺工作模態圖

由圖4可知當h1為零時相當于U型梁退化為直梁時驅動模態下檢測質量塊在檢測方向僅有微小的位移。當h1=32 mm時驅動模態下檢測質量塊在沿檢測方向以及檢測模態下驅動質量沿驅動方向都產生了相當大的位移,如圖5所示;由圖6可知當U形梁兩端梁長相等時驅動模態下檢測質量塊沿檢測方向沒有位移,檢測模態下驅動方向僅有微小位移。

分別取h1的長度為0 μm、5 μm、10 μm、15 μm、20 μm、25 μm、30 μm、32 μm、35 μm、40 μm、50 μm、60 μm、70 μm,其他尺寸不變,分別建立這13種微陀螺的有限元模型,進行模態分析,分析同一對角線微梁尺寸相同的加工誤差下梁長h1對微陀螺模態耦合的影響規律。在檢測質量塊上選取編號為20的節點,分別量取該節點在驅動模態時檢測方向的位移y與驅動方向的位移x,得到y/x的比值,比值越大模態耦合越強。驅動模態下y/x的比值隨梁長h1的變化關系如7圖所示。

圖7 模態耦合隨梁長h1的變化規律

當h1從0 μm到32 μm變化時微陀螺驅動模態與檢測模態耦合程度逐漸增大;當h1從32 μm到70 μm變化時,微陀螺驅動模態、檢測模態耦合程度逐漸降低。梁長h1=0 μm或h1=70 μm時,微陀螺驅動模態耦合程度非常微小;當梁長h1=32 μm時,微陀螺驅動模態耦合程度達到最大。對比圖3與圖7可知驅動模態耦合隨梁長h1的變化規律與正交耦合誤差隨梁長h1的變化規律基本相同,兩者呈現正相關。根據式(4)、式(5)和式(7)可知,影響正交耦合誤差的主要是驅動微梁的尺寸,但模態卻取決于微陀螺的特征矩陣即不僅包含驅動微梁還包含了檢測微梁尺寸及其兩者質量的影響,因此圖3中的曲線比值與圖7中的比值會有差別。

4 驅動微梁形狀對檢測信號的影響

由于微陀螺試件為微米級,其加工成本過高,同時實驗裝置也比較復雜,實驗驗證存在一定的困難。微陀螺工作時,在兩端的驅動電極施加帶有直流偏置的交流電壓,梳齒間產生交變的靜電力,本質上為簡諧激振力,因此本文采用有限元仿真實驗對微陀螺沿驅動方向施加簡諧激勵模擬交流電壓作用下微陀螺的響應,研究驅動微梁存在加工誤差條件下U形梁h1的長度對微陀螺輸出結果的影響。

根據前面分析所得的驅動模態的固有頻率選定諧響應分析的頻率范圍,使驅動方向的固有頻率在該激勵頻率范圍的中間位置,給定20個步數,在動梳齒左端面施加簡諧激振力,直流偏置電壓Vdc=10 V,交流電壓Vac=4 V時靜電力的幅值為F=6.372×10-8N,微陀螺整體的空氣阻尼系數為C=1.362×10-6kg/s。圖8為h1為0 μm、32 μm、70 μm時節點20在驅動、檢測方向的幅頻響應曲線。

當h1=0和70 μm時驅動方向施加激勵時對檢測信號的干擾很小,當h1=32 μm時驅動方向施加激勵時在無外界角速度輸入的情況下對應于激勵頻率等于驅動頻率時檢測方向產生了很大的位移,此時正交耦合誤差的影響最大,其原因為驅動方向的運動由于耦合作用在檢測方向生成一個簡諧變化的運動分量,相當于給檢測模塊施加了一簡諧激勵,當驅動模態與檢測模態頻率相近時意味著檢測的激勵頻率與檢測的固有頻率相近,檢測發生共振,所以此時的耦合作用最強。因此對于單自由度微陀螺應適當加大驅動和檢測的模態頻率差,即可起到適當增加帶寬的目的又能降低耦合的影響。

圖8 梁長h1對檢測信號的影響

圖8給出了交流電壓的頻率等于驅動頻率時節點20驅動方向的位移與檢測方向的位移比隨h1的變化關系。當微梁梁長h1由0 μm到70 μm變化時,檢測方向的位移首先是逐漸增加并接近驅動方向的位移,在32 μm達到峰值,隨后又逐漸降低。

圖9 y/x值隨不同梁長h1的變化規律

由圖9可知,模態分析結果和諧響應分析結果相互驗證,表明了隨著梁長h1的增大,節點20的檢測方向位移y與驅動方向位移x的比值先增大后減小,且兩者變化趨勢基本吻合。即當梁長h1=0 μm或h1=70 μm時,微陀螺驅動模態耦合程度非常微小;當梁長h1=32 μm時,微陀螺驅動模態耦合程度達到最大。為了避免在設計過程中發生更加嚴重的模態耦合,微梁應該設計成等長的U型梁或者直梁,這與避免正交耦合誤差中得到的設計原則也是吻合的。

5 結論

在同一對角線兩驅動微梁的梁寬同時減小或增大的加工誤差情況下,U形梁一端梁長的變化對正交耦合誤差、模態耦合及檢測信號產生極大影響,在加工中應盡量避免或減小這類誤差的發生;U型梁退化為直梁或為完全對稱的形狀時,同一對角線兩驅動微梁的梁寬同時減小(或增大)的加工誤差所引起的的正交耦合誤差、模態耦合及對檢測信號的影響可略去不計;當U型梁一端的梁長為另一端長度的二分之一左右時該類加工誤差會引發非常嚴重的模態耦合現象并對檢測信號產生極大影響,在設計與加工中要盡量避免此類情況的發生;對于單自由度微陀螺應適當加大驅動和檢測的模態頻率差,既可起到適當增加帶寬的目的又能降低耦合的影響。

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