一種基于傳感器網(wǎng)絡(luò)的水污染源質(zhì)心定位算法*

羅 旭,楊 君,吳晨暉,馮 政

(1.遵義醫(yī)學院信息工程學院,貴州 遵義 563000;2.武漢科技大學信息科學與工程學院,武漢 430081)

傳感器網(wǎng)絡(luò)具有覆蓋區(qū)域廣、自組織、不受地理位置限制等優(yōu)點[1-2],常用于環(huán)境監(jiān)測。目前基于傳感器網(wǎng)絡(luò)的污染源定位算法無論是關(guān)于氣體污染源還是水污染源,多根據(jù)污染物的遷移過程,基于擴散模型進行定位。例如文獻[3-12]中,在各類具體擴散情形和擴散模型下研究了污染源定位問題,其中文獻[9-12]探討了水污染源定位問題。在此類定位算法中,主要基于污染監(jiān)測數(shù)據(jù),根據(jù)擴散模型,建立含有污染源位置的參數(shù)估計模型,并采用最小二乘、貝葉斯估計、狀態(tài)濾波等方法求解估計問題。在基于擴散模型的污染源定位算法中主要有兩大問題:①在求解基于擴散模型的數(shù)學問題中常涉及到復雜的數(shù)值計算,近似數(shù)值計算引入了參數(shù)估計誤差。②擴散模型本身是在較為理想的條件下提出的,并不能精確描述擴散過程本身,因此擴散模型本身引入了定位誤差,并且在某些情形下并沒有解析擴散模型,基于擴散模型的解析類定位算法并不能適用。

盡管目前也有一些不依賴于水文模型的水污染源定位算法,如最接近點算法(CPA)[13],最大監(jiān)測點算法(MPA)以及最早探測點算法(EPA)[14]。此類算法中,污染源位置為網(wǎng)絡(luò)內(nèi)某節(jié)點的位置,定位精度依賴于節(jié)點部署密度。當監(jiān)測區(qū)域較廣例如湖區(qū)、河流中,由于節(jié)點難以密集部署,算法精度不高。此類算法屬于粗略定位算法。

在水污染事件中,及時發(fā)現(xiàn)污染源并進行處理十分重要。考慮到已有水污染源定位算法的上述問題,提出了一種基于傳感器網(wǎng)絡(luò)的水污染源質(zhì)心定位算法。該算法雖然與擴散模型無關(guān),但依然結(jié)合了水污染擴散規(guī)律解決定位問題。該算法僅依賴于傳感器網(wǎng)絡(luò)的監(jiān)測數(shù)據(jù),關(guān)鍵在于根據(jù)水污染擴散特征以及濃度場等位線求得污染源位置。相對于以某節(jié)點的位置為污染源位置的定位算法,該算法分析了監(jiān)測數(shù)據(jù),不屬于粗略定位算法,受網(wǎng)絡(luò)節(jié)點部署位置和密度的影響小;相對于基于擴散模型的定位算法,該算法即利用了監(jiān)測數(shù)據(jù),又避免了濃度模型和復雜的數(shù)值計算給污染源定位帶來的負面影響,并可用于無解析濃度模型的場景中。

在下文中,首先給出該質(zhì)心的算法的一般性問題,然后給出求解方法。

1 問題描述

1.1 問題背景

根據(jù)污染物遷移過程來估計污染源位置是污染源定位的基本方法,而污染物的擴散過程是污染物遷移主要過程。本文的質(zhì)心算法主要依據(jù)水體中二維擴散過程求取污染源的平面位置。本文的污染源估計問題即根據(jù)已知的傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點在各采樣時間的濃度監(jiān)測信息C(xi,yi,tl),節(jié)點位置以及不同節(jié)點的探測時間Ti,i=1,2,…,n來求取污染位置。并且本文的質(zhì)心算法有以下3個前提假設(shè):①監(jiān)測區(qū)域中只有一個污染源。②節(jié)點越早探測到污染信息,離污染源越近。③污染源位置的邊界條件已知,即(x0,y0)∈B已知。

1.2 網(wǎng)絡(luò)部署

在監(jiān)測區(qū)域中均勻分布有I(>5)個傳感器節(jié)點。傳感器節(jié)點位置固定,待測污染物類型已知,伸入水下的探測傳感器給定。傳感器節(jié)點位置已知,所有的傳感器節(jié)點以同一采樣周期同步采樣并存儲數(shù)據(jù),監(jiān)測數(shù)據(jù)路由到匯聚節(jié)點并送往數(shù)據(jù)中心進行處理。

1.3 質(zhì)心定位問題

將(xi,yi,Ti),i=1,2,3,…,I按節(jié)點的污染探測時間Ti排序,使得T1

(1)

式中:

D=

D可簡化為

(2)

是由直線

圍成的區(qū)域。

若有多個節(jié)點同時且最早發(fā)現(xiàn)污染源,例如T1=T2

D=

(3)

即有n個節(jié)點同時且最早探測到污染時,有n組不等式。

2 定位方法

在上述定位方法中,首先是找到最早發(fā)現(xiàn)污染的節(jié)點(x1,y1),然后是計算式(1)中區(qū)域D的質(zhì)心。式(1)沒有解析解,需要通過幾何方法求解。但在許多情形下,由于水污染擴散場中存在濃度場等位線,可依此獲得解析解。在下文中將首先給出存在濃度勢場等位線下的解析解,然后介紹相關(guān)的數(shù)據(jù)預處理,包括污染探測和濃度等位線檢驗。

圖1 具有圓形等位線的濃度場

2.1 解析特解

Case 1 節(jié)點有同一污染探測時間并在圓形等位線上

如圖1所示,在不受邊界限制的擴散場中,濃度等位線呈圓形。在此情形下,在同一等位線上的節(jié)點(xi,yi),i=1,2,…,I到污染源的距離相同并在同一時間探測到污染。可得:

(4)

并可寫為

(x1-x0)2+(y1-y0)2=r2
(x2-x0)2+(y2-y0)2=r2
(x3-x0)2+(y3-y0)2=r2
?
(xI-x0)2+(yI-y0)2=r2

(5)

其解為

(6)

式中:

Case 2 節(jié)點有同一污染探測時間并在軸對稱等位線上

如圖2所示,擴散受邊界Y影響,污染源位置在等位線的對稱軸上。

(7)

根據(jù)式(2),同時可得:

(8)

以及估計:

(9)

圖2 具有對稱等位線的濃度場

2.2 數(shù)據(jù)預處理

記:

X={(x1,y1),(x2,y2),…,(xI,yI)}:傳感器節(jié)點集合;

N(X):X中節(jié)點的數(shù)量;

N(X′):X′中節(jié)點的數(shù)量。

2.2.1 污染探測

①簡單探測法

②基于假設(shè)檢驗的探測法

當監(jiān)測數(shù)據(jù)變化緩慢,且濃度值較小時,采用該方法。由于監(jiān)測數(shù)據(jù)在大多數(shù)情況下是非正態(tài)的,采用Wilcoxon秩和檢驗法[15],即檢驗表1中兩組獨立數(shù)據(jù)是否有顯著差異。

表1 探測中的兩組獨立樣本

假設(shè)為:

(10)

式中:μs1與μs2為樣本組1和樣本組2的平均值。

將樣本組1和樣本組2中的數(shù)據(jù)一并升序排列,并依序標記數(shù)秩[15]。當檢驗顯著性水平為α,樣本組1中數(shù)據(jù)對應的秩和為R1,若

R1≤CU(α/2)

(11)

2.2.2 濃度場等位線檢驗

判定在X′中的節(jié)點在環(huán)形等位線上,否則這些節(jié)點在各軸對稱等位線上,這里χ為經(jīng)驗參數(shù)。

2.3 算法適用性

首先,本文算法是單源定位算法,式(1)的定位算法適用于所有情形,當有足量的節(jié)點處于濃度等位線上,至少滿足N(X′)≥max{(N(X)/4,4}時,可依據(jù)式(6)～(9)利用等位線上的節(jié)點數(shù)據(jù)得到解析定位結(jié)果。

再次,本文算法主要結(jié)合平面濃度等位場討論定位問題。值得指出的是,在三維擴散中當擴散系數(shù)各向同性時為等位球面,質(zhì)心算法尤其是基于濃度等位線的質(zhì)心定位可推廣使用,這方面的內(nèi)容將在后續(xù)的工作中討論。

3 實驗

實驗1:靜態(tài)水體中不受邊界限制的濃度場中的污染源定位。

問題背景:在淺灘水體中,水域大小為200 cm×200 cm,水深f=100 cm。在水域中心有一連續(xù)(污染)源。自t0=0 s起MgSO4溶液被排入水體中。污染源和節(jié)點位置如圖3所示,具體實驗工作可參考前期工作[16]。擴散過程可由式(12)描述[17]:

(12)

式中:M是污染物的質(zhì)量,K為擴散系數(shù),(x0,y0)為污染源位置,t為當前時間。各節(jié)點的實地監(jiān)測數(shù)據(jù)如表2所示。

圖3 實驗1中節(jié)點部署和污染源位置

數(shù)據(jù)預處理:顯著性水平α=0.05,采用Wilcoxon秩和檢驗,節(jié)點探測時間如表3所示。傳感器節(jié)點的最小分辨率為0.01 g/L。根據(jù)探測時間以及表1中監(jiān)測數(shù)據(jù),節(jié)點1,5,3,7在同一圓形濃度等位線上,節(jié)點2,4,6,8在同一圓形濃度等位線上。

污染源定位:根據(jù)監(jiān)測數(shù)據(jù),不同定位方法的結(jié)果如表4所示。表4中,采用了最小二乘方法來求解解析定位問題,使得各節(jié)點的濃度監(jiān)測數(shù)據(jù)和由式(12)給出的理論濃度值的差值的平方和最小。濃度數(shù)據(jù)采用的是第20 s的監(jiān)測數(shù)據(jù)。粗略定位算法中選取的是第20 s的監(jiān)測數(shù)據(jù)的MPA點。基于濃度等位線的質(zhì)心算法的定位結(jié)果是節(jié)點1,5,3,7所在圓形等位線以及節(jié)點2,4,6,8所在圓形等位線的質(zhì)心的平均值。從實驗1的實驗結(jié)果來看,質(zhì)心定位算法有更高的精確度。

表2 實驗1中各節(jié)點的監(jiān)測值

表3 節(jié)點探測到污染的時間(實驗1)

表4 不同定位算法的實驗結(jié)果(實驗1)

實驗2:靜態(tài)水體中受邊界限制的濃度場中的污染源定位。

問題背景:在淺灘水體中,位置(x0,y0)=(1.05,6.05)m處有一連續(xù)(污染)源,該污染源靠近不透水邊界Y。水域大小為10 m×10 m,水深f=10 m。自t0=0 h起污染物溶液被排入水體中,質(zhì)量流率M為100 kg/h,擴散系數(shù)為K=1 m2/h。擴散過程可由式(13)描述[17]:

(13)

以λ為變量的erfc函數(shù)為:

該實驗采用水文仿真軟件MODFOLW[18]實現(xiàn),各節(jié)點監(jiān)測數(shù)據(jù)如表5所示。在仿真實驗中節(jié)點(0.85,6.75)和節(jié)點(0.85,5.35),節(jié)點(0.55,7.25)和節(jié)點(0.55,4.85),節(jié)點(1.75,7.25)和節(jié)點(1.75,4.85),節(jié)點(0.15,7.55)和節(jié)點(0.15,4.55),節(jié)點(2.25,7.95)和節(jié)點(2.25,4.15)分別置于同一濃度等位線上。

數(shù)據(jù)預處理:閾值γ=0.05 g/L。采用簡單污染探測算法,各節(jié)點探測到污染的時間如表6所示。顯然污染源位置的邊界條件為B={x0|10>x0>0}。

對比以下3種污染源位置定位方法:

粗略定位方法:在本實驗中最大監(jiān)測點算法(MPA)和最早探測點算法(EPA)得到的為同一點。當節(jié)點密集,某節(jié)點接近于污染源時,定位精度較高,否則有較大的定位誤差。

基于模型的解析定位方法:采用了非線性最小二乘方法來求解解析定位問題,使得各節(jié)點的濃度監(jiān)測數(shù)據(jù)和由式(13)給出的理論濃度值的差值的平方和最小。濃度數(shù)據(jù)采用的是第4.0 h的監(jiān)測數(shù)據(jù),定位結(jié)果如表7所示。

表5 實驗2中各節(jié)點的監(jiān)測值

表6 節(jié)點探測到污染的時間(實驗2)

本文質(zhì)心定位方法:不同的節(jié)點組合下定位結(jié)果不同。例如在節(jié)點組1:{(1.35,5.15),(1.35,6.95),(0.85,6.75),(0.85,5.35),(0.55,7.25),(0.55,4.85),(1.75,7.25),(1.75,4.85),(2.25,7.95),(2.25,4.15),(0.15,4.55),(0.15,7.55),節(jié)點組2:{(1.35,5.15),(1.35,6.95),(1.75,7.25),(1.75,4.85),(2.25,7.95),(2.25,4.15)},節(jié)點組3:{(0.85,6.75),(0.85,5.35),(0.55,7.25),(0.55,4.85),(2.25,7.95),(2.25,4.15)} 下有不同的定位結(jié)果，如表8所示。

結(jié)合實驗結(jié)果進行分析,有:①基于擴散模型的水污染源定位算法的結(jié)果與數(shù)值計算中選擇的初值有關(guān),事實上在數(shù)值計算中應設(shè)置變量邊界以使得計算結(jié)果收斂。②質(zhì)心定位算法的定位結(jié)果比任何一個監(jiān)測點離污染源都近。③在本實驗中,相對其他污染源定位算法,質(zhì)心算法有更好的定位結(jié)果。

表7 基于模型的解析定位結(jié)果(實驗2)

表8 不同節(jié)點組的定位結(jié)果

實驗3:一般情形下的質(zhì)心定位算法

問題背景:在淺灘水體中,水域大小為200 cm×200 cm,水深f=100 cm。在水域中心有一連續(xù)(污染)源。自t0=0 s起MgSO4溶液被排入水體中。污染源和節(jié)點位置如圖4所示。各節(jié)點的實地監(jiān)測數(shù)據(jù)如表9所示,具體實驗工作可參考前期工作[16]。在本實驗中,由于溶液排放速率非常量,并沒有解析擴散模型,基于模型的解析定位方法無法采用。記節(jié)點 1,節(jié)點 2,節(jié)點 3,節(jié)點 4,節(jié)點 5,節(jié)點 6,節(jié)點7,節(jié)點 8的位置分別為(a1,b1),(a2,b2),(a3,b3),(a4,b4),(a5,b5),(a6,b6),(a7,b7),(a8,b8)。

表9 實驗3中各節(jié)點的監(jiān)測值

表10 節(jié)點探測到污染的時間(實驗3)

圖4 實驗3中節(jié)點部署和污染源位置

數(shù)據(jù)預處理:顯著性水平α=0.05,采用Wilcoxon秩和檢驗,節(jié)點探測時間如表10所示。傳感器節(jié)點的最小分辨率為0.01 g/L,根據(jù)節(jié)點污染探測時間以及監(jiān)測數(shù)據(jù)易推得節(jié)點3和節(jié)點5在同一軸對稱濃度等位線上,節(jié)點4和節(jié)點6在同一軸對稱濃度等位線上。

①一般情形下的定位結(jié)果

區(qū)域D為:

D=

邊界條件為B={x0|200>x0>0},基于式(1)的定位結(jié)果為(0,140/9)cm。

②根據(jù)濃度等位線的定位結(jié)果

根據(jù)對稱條件,有

定位結(jié)果為(0,20)cm。

采用EPA或CPA定位算法時,定位結(jié)果是某節(jié)點的位置。本實驗中得到的估計位置都比各節(jié)點離污染源近,即估計結(jié)果都優(yōu)于EPA或CPA定位算法。

縱觀以上實驗結(jié)果,說明了本文水污染源質(zhì)心算法相對其他典型水污染源定位算法的優(yōu)越性。

5 結(jié)論和未來研究工作

本文提出了一種質(zhì)心算法定位水污染源。該方法不依賴于擴散模型,其關(guān)鍵步驟是確定污染源所在區(qū)域,其次是計算該區(qū)域的幾何質(zhì)心,質(zhì)心位置即污染源位置。當濃度場中存在對稱的濃度等位線時討論了質(zhì)心算法的解析解。在實驗部分檢驗了本文算法,并與粗略定位算法以及基于模型的解析定位算法進行了對比,實驗結(jié)果驗證了本文算法的有效性。

在后續(xù)工作中,將討論定位算法在實地環(huán)境工作中難免遇到的一些問題,如數(shù)據(jù)有效性問題,即數(shù)據(jù)使用之前對錯誤數(shù)據(jù)的清理;節(jié)點漂移問題,即非靜態(tài)水體中參與污染源定位的觀測節(jié)點實際位置可能相對于錨位置有所偏差,如何糾正位置漂移帶來的估計誤差的問題。

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