淺談解答三角函數問題的方法和技巧

摘要：三角函數是高中數學的重點知識內容，在學習三角函數的過程中，需要我們靈活運用公式定理，掌握三角函數問題的解題技巧。本文將從筆者的做題經驗出發，探討三角函數問題的解題方法和解題技巧，主要分析了定義判斷法、公式求解法、消參法和構造法的應用。

關鍵詞：高中數學學習；三角函數問題；解題方法技巧

一、 前言

三角函數問題在考試中占有較大分數比重，是高中數學的重點和難點問題。在解題過程中，要靈活運用化歸思想、換元思想和數形結合思想等，利用三角函數的定義和公式，對問題進行簡化，進而解出題目的正確答案。為了提高三角函數問題的解題效率和準確率，我們應在平時的解題過程中，善于總結方法技巧，不斷積累經驗，促進解題能力的逐步提高。

二、 高中三角函數問題解題方法

三角函數是以角度為變量的一類函數問題，是高中數學學科的重點題目。三角研究的是直角三角形中的邊角對應關系，包含大量的定義和公式。三角函數解題方法的本質是對三角函數定義及公式的運用，因此，我們要將基本的定義和公式掌握牢固，為解答三角函數問題打下基礎。此外三角函數在研究幾何圖形性質中也有廣泛應用，三角函數的周期性是許多數學問題的求解關鍵，這些都說明了三角函數知識的重要性。

筆者在自己的解題過程中，對三角函數問題的求解方法進行了總結和歸納，主要包括定義法、公式化簡法、參數消除法和構造法等。這些解題方法是三角函數問題解題思想的具體表現，需要我們靈活運用化歸思維、換元思維和圖形結合思維等，對三角函數問題進行深入分析，確定解題關鍵。比如化歸思維是將包含多個角度變量的三角函數表達式轉化為單一角度變量的表達式，或將含有多個三角函數名的表達式轉化為只含有單一三角函數名的表達式。在此過程中，需要把未知角用已知角表示，對函數表達式進行降次轉化等，從而求解出結果。下面結合幾道例題對三角函數解題思想和解題方法進行具體分析。

三、 高中三角函數問題解題技巧

（一） 利用定義進行判斷

能用定義法直接判斷求解的三角函數問題通常比較簡單，或一些看似復雜的問題也可以直接利用定理得出結果。在解題過程中，需要我們對定義的內容和性質進行深刻理解，從而能夠靈活運用，抓住問題求解的關鍵，快速得出答案。以一道三角函數問題為例，對定義法的具體應用進行說明。

【例1】已知函數y=sinAcosA+sinA+cosA，求函數最大值。

在求解此類題目時，直接利用三角函數的定義進行求解，可以快速得出答案。根據三角函數定義可知，sinA=yr，cosA=xr，tanA=yx，且x2+y2=r2，利用公式可以將題目中的函數轉化為y=xyr2+yr+xr≤12+2，即當sinA=cosA時函數取得最大值。

定義法在求解簡單題目時具有較大優勢，在一些復雜問題的求解過程中，還可以與其他求解方法配合使用，達到將題目化簡的目的。我們在求解三角函數問題時準確率不高，有很大一部分原因是把問題“復雜化”，沒有理清解題思路。定義法求解采取單刀直入的方式，可以使三角函數問題由繁化簡，最終迎刃而解。

（二） 巧用公式求解

利用公式求解三角函數的題目是三角函數求解的基本方法，需要審清題目，再用適當的公式進行求解。公式求解法的關鍵是合理選用公式，要充分分析出題者的考核目的，利用題目已知條件，與所學的公式定理聯系起來，達到求解的目的。還是以一道題目為例，對公式法的應用進行說明。

【例2】已知sinA-cosA=33，求sin3A-cos3A的值。

在求解該題時，由于題目中已經給出sinA-cosA的值，可以利用立方差公式，將需要求解的三角函數表達式轉化成包含sinA-cosA的形式。即sin3A-cos3A=（sinA-cosA）[（sinA-cosA）2+3sinAcosA]。此時還要求解sinAcosA的值。由于（sinA-cosA）2=1-2sinAcosA=332=13，由此可以得出sinAcosA=13，從而可以解出答案，即sin3A-cos3A=33332+3×13=439。

（三） 消參法的應用

消參法的應用關鍵是通過觀察題目中三角函數表達式的形式，找出不同參數的內在關聯，再利用三角函數的定義和公式，消除一定數量的參數，達到簡化的目的。一般消參法可以分為兩種情況，一是消除角度變量，二是消除三角函數名，使要求解的三角函數表達式只包含已知變量或三角函數名。在轉化過程中，往往需要將分式表達式的上下同時乘一個三角函數值，或利用sin2A+cos2A=1等公式進行消元。采用這種方法可以有效提高解題效率，排除多個變量和函數名的干擾，幫助我們找到解題的關鍵，用最快的速度求出正確答案。

（四） 構造法的應用

構造法也是一種三角函數化簡方法，當要求解的三角函數表達式不滿足公式定理的轉換條件時，可以采取加減同一項或除以同一項的方法，對三角函數表達式進行轉化，使其能夠直接應用公式定理得出答案。比如：已知tanA=3，求解sinA-3cosA2sinA+cosA，已知條件可以轉化為sinAcosA=3，因此，可以對要求解的表達式進行轉換，將其分子和分母同時除以cosA，構造出tanA，最終求出結果。即sinA-3cosA2sinA+cosA=tanA-32tanA+1=0。通過消參法和構造法的應用，都可以達到簡化目標函數，利用已知條件進行求解的目的，我們在解題過程中，應對這兩種方法進行靈活使用。

四、 結束語

綜上所述，熟練掌握三角函數的解題方法和解題技巧，可以幫助我們快速找到三角函數問題的求解關鍵，并巧妙利用公式定理和已知條件，求解出正確的結果。我們在平時的解題過程中，應注重培養化歸思維和換元思維，從而提高三角函數題目的解題效率和準確率。

參考文獻：

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[2]時天宇.高中數學三角函數學習中的經驗分享[J].課程教育研究，2017，（01）：117.

作者簡介：

劉穎華，河南省新鄉市，河南師范大學附屬中學。endprint