淺談高中數學算法模塊與其他模塊的整合

姚馨哲

【摘要】算法是計算機科學的核心內容，也是高中數學必學和高考必考內容，而對算法考查經常會與其他數學知識聯系起來考查.本文對算法模塊和其他數學模塊整合進行探討.

【關鍵詞】算法；高中數學；整合

對于計算機科學來說，算法是至關重要的內容.算法是高中數學必學和必考的知識模塊.在高中數學中，算法通常是指按照一定規則解決某類問題的明確和有限的步驟.[1]在設計算法時，要保證算法正確、盡量簡單，步驟盡量少，且計算機能夠執行.表示一個算法常用的方法有：自然語言、程序框圖（傳統流程圖）、N-S流程圖和偽代碼等.程序框圖表示的算法具有靈活、自由、形象、直觀的優點.下面用程序框圖表示的算法來探討算法和其他高中知識的整合.

一、算法與方程、解析幾何、導數

求方程在某區間的近似根可以采用二分法，求方程在某實數附近近似根可以用牛頓迭代法.牛頓迭代法思想是：先任意設定一個與真實的根x*接近的值x0作為近似根，由x0求出f（x0），過點（x0，f（x0））作f（x）的切線交x軸于x1，把它作為第二次近似根，再由x1求出f（x1），過點（x1，f（x1））作f（x）的切線交x軸于x2，再由x2求出f（x2），再作切線……如此繼續下去，直到足夠接近真正的根x*為止.[2]

請畫出用牛頓迭代法求方程2x3-4x2+3x-6=0在15附近近似根（精確度10-4）的程序框圖.

解 由圖1可以看出：過點（x0，f（x0））的切線方程為y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），切線方程中令y=0，可以求出切線與x軸的交點橫坐標x1=x0-f（x0）f′（x0）.為便于計算f（x）=2x3-4x2+3x-6可以寫成f（x）=（（2x-4）x+3）x-6，則函數在x0處的函數值為f（x0）=（（2x0-4）x0+3）x0-6；函數f（x）=2x3-4x2+3x-6的導函數為f′（x）=6x2-8x+3=（6x-8）x+3，函數f（x）當x=x0時的導數為f′（x0）=（6x0-8）x0+3.

程序框圖如圖2所示.

牛頓迭代法求方程在某值附近的近似根，用到算法、函數、方程、解析幾何中的直線，以及用導數求曲線斜率，綜合性較強.

二、算法與函數

已知程序框圖如圖3所示，若f（x）=9，則x=.

分析 本題程序框圖中有兩個判斷框，本質上是分段函數f（x）=（x+2）2（x<0），3（x=0），3x（x>0）. 已知f（x）=9，求x的值.

解 （1）當x<0時，由流程圖可知f（x）=（x+2）2，要輸出的函數值f（x）=9，則（x+2）2=9可得x=-5或x=1（舍去），故輸入的x的值應為-5.

（2）當x>0時，由流程圖知f（x）=3x要輸出的函數值f（x）=9，則3x=9可得x=2，故輸入x的值應為2.

綜上可知x=2或x=-5.

三、算法與統計

為弘揚民族文化，提高學生國學素養，某中學高二年級舉辦了一次“我愛古詩詞”國學知識競賽活動，共有500名學生參加了這次競賽.為了解本次競賽的成績情況，從中抽取了50名學生的成績（得分均為整數，滿分為100分）進行統計.請根據頻率分布表和算法流程圖（圖4），求輸出S的值.

序號（i）分組（分數）組中值（Gi）頻數（人數）頻率（Fi）

1[60，70）6560.12

2[70，80）75200.4

3[80，90）85120.24

4[90，100]95120.24

合計501

解 用追蹤變量法S=0，i=1.

（1）i≤4成立，

Gi=65，Fi=0.12，S=0+65·0.12=7.8，i=2.

（2）i≤4成立，

Gi=75，Fi=0.4，S=7.8+75·0.4=37.8，i=3.

（3）i≤4成立，

Gi=85，Fi=0.24，S=37.8+85·0.24=58.2，i=4.

（4）i≤4成立，

Gi=95，Fi=0.24，S=58.2+95·0.24=81，i=5.

（5）i≤4不成立，循環結束，輸出變量S=81，程序結束.

通過分析還可以得出，此算法是求50名學生分數的近似平均值.

四、算法與排列

某校高二年級某班要從15名候選人中選出7名組成班委會，分別擔任班長、學習委員、紀律委員、生活委員、宣傳委員、組織委員和體育委員，求組成班委會的方案數目.如圖5是計算班委會的方案數目的程序框圖.在流程圖的判斷框內應填的條件是什么？

解 從15名候選人選出7名分別擔任一個職位，屬于排列問題，不同的班委會方案數目為A715=15×14×13×12×11×10×9.

根據程序框圖，此算法中重復執行的指令中目標變量A用累積法求值；不斷計入目標變量的是15，14，13，12，11，10，9存放在循環變量n中，則其規律是在前者的基礎上減1，即n=n-1；變量i作為計數變量.求7個連續整數的乘積，循環體應執行7次，因此，判斷框內應填的條件為i≤7？或i<8？.

算法是高中數學必學內容，是數學體系的重要組成部分，是計算機科學的基礎.對于面向過程的程序，著名的計算機科學家沃斯提出，程序=算法+數據結構，算法是程序的靈魂.因此，在學習算法時，要多聯系實際，多聯系學過的數學知識比如，不等式、數列、概率……體會算法體現的數學思想.通過對算法的學習，可以培養邏輯思維能力，激發學習數學的興趣，對以后進一步深造也大有裨益.

【參考文獻】

[1]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書·數學3·必修[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]譚浩強.C程序設計題解與上機指導[M].北京：清華大學出版社，2005.endprint