微分方程在一類中值定理證明中的應(yīng)用

黃建華??

摘要：普通高校專升本考試作為在校專科生實現(xiàn)再教育和深造的一個重要途徑，越來越受到各高校的重視。在專升本高等數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)中，中值定理及其應(yīng)用是一個難點，作者在多年的復(fù)習(xí)教學(xué)中，采用微分方程解決一類中值定理證明題輔助函數(shù)的構(gòu)造問題取得了良好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；中值定理；微分方程

普通高校專升本考試作為在校專科生實現(xiàn)再教育和深造的一個重要途徑平臺，越來越受到各高校的重視。在校學(xué)生參加專升本復(fù)習(xí)和成功專升本的比例成為衡量教學(xué)效果新的考核指標(biāo)。在專升本高等數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)中，如何在現(xiàn)有學(xué)生薄弱的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，讓學(xué)生理解、適應(yīng)新層次的數(shù)學(xué)教學(xué)和考核內(nèi)容，是在職數(shù)學(xué)教師值得考慮的問題。綜合應(yīng)用是專升本考試的一個重要方向。在中值定理的應(yīng)用中引入微分方程的思想方法，既可以清晰的講解一類中值定理證明題輔助函數(shù)的構(gòu)造問題，又可以創(chuàng)造性地提出高等數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用解決問題的新思路，在筆者的教學(xué)過程中取得了良好的教學(xué)效果。

一、 羅爾中值定理

若函數(shù)f（x）滿足如下條件：（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，（2）f（x）在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，（3）f（a）=f（b），則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得f′（ξ）=0。

在專升本中值定理的應(yīng)用證明題教學(xué)中，主要的一類題目是要求根據(jù)題意構(gòu)造輔助函數(shù)F（x），使得F（x）滿足以上三條件，從而證明結(jié)論成立。在一般的教學(xué)過程中，教師僅僅從特殊情況出發(fā)，主要用湊的方法提出輔助函數(shù)的構(gòu)造，比如：

例1設(shè)f（x）在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在區(qū)間（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=1，f（1）=0，證明在（0，1）內(nèi)至少存在一點ξ，使f′（ξ）+ξf（ξ）=0。

在教學(xué)過程中，教師一般從結(jié)論形式出發(fā)發(fā)現(xiàn)具有[ξf（ξ）]′=0，從而提出構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=xf（x）。這個講解過程簡單，但是不好推廣，對結(jié)論和方法不具有一般性，針對高職學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而言，很難理會教師構(gòu)造函數(shù)的意圖，教學(xué)效果差，很難訓(xùn)練學(xué)生舉一反三的能力。

二、 推廣

在證明結(jié)論中既含有已知函數(shù)f（x），又含有f（x）的一階導(dǎo)數(shù)，具有形式：b（x）f（x）+c（x）f′（x）=0時，這類應(yīng)用羅爾中值定理的證明題一般總是利用已知函數(shù)f（x），構(gòu)造函數(shù)F（x）=g（x）f（x），要不直接使得：

F′（x）=g′（x）f（x）+g（x）f′（x）=0（1）

或者上述展開式可以提取公因式s（x）后變形為：

F′（x）=s（x）[b（x）f（x）+c（x）f′（x）]（2）

其中s（x）不可能為零，從而由羅爾定理證明需要證明的結(jié)論形式：b（ξ）f（ξ）+c（ξ）f′（ξ）=0。

實際上，第一種情況也可歸納為（2）式的一種特殊情況。因此，關(guān)鍵是求得輔助函數(shù)中附加部分g（x），我們可以借用微分方程來求解，綜合（1）（2）兩式可得：

g′（x）=s（x）b（x）g（x）=s（x）c（x）

其中b（x）、c（x）是已知的，s（x）可看成未知的，在上式中消去s（x），可得微分方程

g′（x）=b（x）c（x）g（x）（3）

上式一般為一階線性微分方程，求解后即可構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=g（x）f（x），還可看到結(jié)果不唯一。

三、 舉例

例2設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]上連續(xù)，在區(qū)間（1，2）內(nèi)可導(dǎo)，且f（1）=f（2）=0，證明在（1，2）內(nèi)至少存在一點ξ，使f（ξ）ξ=2007f′（ξ）。

分析：將結(jié)論轉(zhuǎn)化為：f（x）-2007xf′（x）=0，應(yīng)用（3）式，可得微分方程：

g′（x）=-12007xg（x），可解得g（x）=cx-12007，不妨取g（x）=x-12007，易證輔助函數(shù)

F（x）=g（x）f（x）=x-12007f（x）在區(qū)間[1，2]上滿足羅爾定理，且

F′（x）=x-12007f′（x）-12007x-20082007f（x）=x-12007[f′（x）-12007xf（x）]

而函數(shù)s（x）=x-12007在（1，2）內(nèi)始終大于零，所以只能存在ξ，使

f′（ξ）-12007ξf（ξ）=0即f（ξ）ξ=2007f′（ξ）。

參考文獻(xiàn)：

[1] 文亮教育.高等數(shù)學(xué)[M].杭州：浙江工商大學(xué)出版社，2016.

[2] 侯風(fēng)波.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2010.

作者簡介：黃建華，講師，浙江省衢州市，衢州職業(yè)技術(shù)學(xué)院。endprint