例說三角函數周期問題的處理

蒲伯樂+丁自強

摘要：三角函數周期問題的處理是中學數學教學中頗感棘手的問題，其關節點就在于周期函數的定義域既無上界又無下界，為此，我們常在長度為所涉及周期的最小公倍且有利于問題處理的一個區間內求得問題的解答，再加上該區間長度的整數倍，擴展到整個定義域上。這種由局部窺視整體的解題方法便于利用函數圖像，這個區間本文稱作基本區間，它的選擇具有靈活性，茲舉例說明如下所示。

關鍵詞：例說；三角函數周期問題；處理

例1求y=（sinx）-14的單調區間。

解：∵x必須滿足sinx>0，此時，y=（sinx）-14是關于sinx的減函數.在區間（0，2π）內，sinx>0的解集為（0，π），當0

說明本例中長度為2π的任一區間都可作為基本區間，但（0，2π）靠近原點是sinx>0的解區間，因此，我們選（0，2π）為基本區間.

例2解不等式組cosx>-12tanx≤33

解在同一直角坐標系中畫出兩函數在區間-π2，3π2內的圖像，顯見在此區間內不等式組的解集為-π2，π6∪π2，2π3，∴不等式組的解集為2kπ-π2，2kπ+π6∪2kπ+π2，2kπ+2π3，（k∈Ζ）.

說明因為兩個周期2π、π的最小公倍是2π，選-π2，3π2為基本區間，則正切曲線恰有兩支完整的分支。

例3求y=lg（2cosx+2）+1-2sin2x3的定義域.

解要使函數有意義，必須且只需

2cosx+2>01-2sin2x3≥0亦即

cosx>-22（1）sin2π3≤12（2）

（1）、（2）的解集分別為：2kπ-3π4

3kπ+5x4≤x≤3kπ+13π4，（k∈Ζ）

cosx，sin2x3的周期分別為2π和3π，它們最小公倍數為6π。

先在區間[-π，5π>2]內求其交集為：-3π4，π4∪5π4，11π4∪17π4，19π4，∴所求的定義域為：6kπ+17π4，6kπ+19π4∪6kπ+5π4，6kπ+11π4∪6kπ-3π4，6kπ+π4（k∈Ζ）。

說明若按例2的方法求解，則需求出在同一坐標系中基本區間內兩圖象的交點橫坐標，故分別求出兩不等式的解集，再求公共解，因為兩個周期2π、3π的最小公倍數是6π，同時考慮k=0時計算方便，在求公共解時，選[-π，5π]為基本區間.

例4解方程sin3x=cos3x

解 因為sin3x與cos3x不可能同時為0，原方程即

tan3x=1，在區間-π6，π6內，解為x=π12，∴原方程的解集為：xx=k·π3+π12，k∈Ζ.

說明這里的基本區間-π6，π6是根據周期π3及正切曲線的對稱性選取的。

例5（1986年全國高中數學聯賽單項選擇題）

設-1

A. x2nx+Q

B. x2nπ-Q

C. x（2n-1）π+Q

D. x（2n-1）π-Q

解 當n=0時，各分支分別為：

A. Q

B. -Q

C. -π+Q

D. -π-Q

∵sinx

∴x只能在第三、四象限內，由Q的范圍知：

A、C都包括x=0，B包括x=π2均應否定，從而選（D）。

說明：將基本區間內的解集加上這個區間長度的整數倍就得到整個定義域上的解集表達式，反之，在解集表達式中令整數n=0，即得基本區間內的解集，顯然其中的任意一個值都是不等式的一個解。本例就是退到基本區間進行驗證的。

由此可見，利用基本區間、可將整個定義域上的問題歸結在一個區間內得到解決，同時又便于利用函數圖象和集合運算，易于同學們掌握。

作者簡介：丁自強，蒲伯樂，四川省廣安市育才學校。