開發教材資源揭示數學本源

李賢江??

摘要：在數學教學中，教師要積極開發教材資源，揭示數學本源。本文通過教材解讀、重難點把握、教學進程創新來分析輔助角公式的教學。

關鍵詞：教材解讀；重難點把握；教學進程

一、 教材解讀

輔助角公式是三角函數的一個非常的重要公式，幾乎是每年高考必考內容之一，所以有必要重點研究。但在現行人教A版教科書必修四中并未給其冠名和直接研究，而是通過練習題、例題、習題的方式循序漸進滲透、逐步顯現，共分為三個層面：

第一層面：（人教A版必修四132頁練習第6題）

化簡：（1）12cosx-32sinx；（2）3sinx+cosx；

（3） 2（sinx-cosx）；（4）2cosx-6sinx。

該練習題設計意圖是兩角和與差正余弦公式的逆向運用，涉及“數字化角”的技巧。

第二層面：（人教A版必修四140頁例3）

求函數y=sinx+3cosx的周期，最大、最小值。

該例題設計意圖是通過三角變換，將形如y=asinx+bcosx的函數轉化為形如y=Asin（ωx+φ）的函數，進一步研究其相關性質，蘊涵了化歸與轉化思想。

第三個層面：（人教A版必修四144頁習題3.2B組第6題）

（1） 求函數y=3sinx+4cosx的最大值與最小值；（2）你能用a，b表示函數y=asinx+bcosx的最大、最小值嗎？

該題將問題推擴至一般的情形：①輔助角φ非特殊角；②用a，b表示函數y=asinx+bcosx的最值。設計意圖的意圖顯而易見，意在揭示一般化問題的本源、規律。

以上題組，先有輔助角公式的具體實例——“和差角公式”的逆向應用，再有輔助角公式的綜合應用——探究y=asinx+bcosx函數的相關性質；后有輔助角公式的規律探尋——回答了如何提取常數，如何確定輔助角。以上三個層面，貌似分散雜亂，實則獨具匠心。教材編寫專家從具體到抽象、從特殊到一般、從現象到本質，循序漸進、步步深入，立體、靈動地展示了輔助角公式的發生、發展過程。

二、 重難點把握

重點：（1）將y=asinx+bcosx化成y=a2+b2sin（x+φ）的形式；（2）輔助角公式的應用。

難點：（1）為什么提取a2+b2；（2）輔助角φ的確定。

三、 教學進程創新

（一） 利用類比思想，初步感知

在學完兩角和差正余弦公式之后，教師出示人教A版必修四132頁練習第6題，引出輔助角公式的教學。

化簡：（1）12cosx-32sinx；（2）3sinx+cosx；

（3） 2（sinx-cosx）；（4）2cosx-6sinx。

習題設置的目的：兩角和差正余弦公式的逆向使用。由于學生剛學習了兩角和差的正余弦公式，該問題不難回答。

解：（1）學生甲：原式=cosπ3cosx-sinπ3sinx=cosx+π3

學生乙：原式=sinπ6cosx-cosπ6sinx=sinπ6-x

（2） 學生：原式=232sinx+12cosx=2sinx+π6

第（3）、（4）解答過程由學生嘗試。

教師追問：（1）還可以化簡成其他形式嗎？（目的體現輔助角φ可以不唯一）

（2） 第（2）個化簡為什么提取2？很多學生感覺容易，但是難以解釋為什么這樣做，此時教師不急于解釋，“引而不發”，留下懸念。

后面兩組課本題目，以“題根與變式”的思想系統設計：

變式1（人教A版必修四140頁例3）：求函數y=sinx+3cosx的周期，最大值、最小值

該題體現輔助角公式的初步應用，在學生的最近思維發展區內生長新知識，有前面的鋪墊，學生很快化為y=2sinx+π3，雖然沒有學習y=Asin（wx+φ）的圖象與性質，但可以利用“整體代換”的思想輕松求出最值。

變式2（教材第144頁習題3.2B組第6題）：

（1）求函數y=3sinx+4cosx的最大值與最小值；

（2）你能用a，b表示函數y=asinx+bcosx的最大、最小值嗎？

該變式的設計將問題層層遞進，讓學生初步感知函數y=asinx+bcosx可以化成y=a2+b2sin（x+φ）的形式，關鍵在于讓學生明白為什么要提取a2+b2？輔助角φ到底等于多少？以揭示輔助角公式的本質與變形通法與技巧。

（二） 提取a2+b2的理論解釋，把握變形方向

（1） 代數解釋：

①換元思想：

asinx+bcosx=a2+b2aa2+b2sinx+ba2+b2cosx

∵aa2+b22+ba2+b22=1，令aa2+b2=cosφ，ba2+b2=sinφ，

∴原式=a2+b2sin（x+φ）。

②方程思想：

令asinx+bcosx=ksin（x+φ）=k（sinxcosφ+cosxsinφ）

∵asinx+bcosx=kaksinx+bkcosx，∴cosφ=ak

sinφ=bk，∴ak2+bk2=1，∴k=a2+b2。

（2） 幾何解釋

設OA=（a，b），OB=（sinx，cosx），

∴y=asinx+bcosx=OA·OB=OAOBcosθ=a2+b2cosθ，

其中cosθ=cos（x-φ）。（其原因見C（α-β）公式的推導過程），φ滿足

cosφ=ba2+b2，sinφ=aa2+b2，可以發現提取a2+b2的目的是將OA=（a，b）單位化，即將OA壓縮成一個單位向量OA′，即OA′=1OA OA（如圖）

設計意圖：從代數和幾何兩方面揭示提取a2+b2的理由，有利于學生對公式的本質理解。

（三） 輔助角φ的確定

問題1：變式中y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），角φ能確定嗎？

學生：角φ滿足cosφ=35，sinφ=45，顯然當φ∈[0，2π）時，φ是唯一確定的。

問題2：一般的y=asinx+bcosx=a2+b2sin（x+φ），φ的幾何意義是什么？

學生：角φ滿足sinφ=ba2+b2，cosφ=aa2+b2，由三角函數定義，當φ∈[0，2π）時，φ的大小是點P（a，b）所在終邊所確定的最小正角（如右圖）。

值得指出說明的是，影響甚廣的“百度百科”中稱，asinx+bcosx=a2+b2sinx+arctanba為輔助角公式，即φ=arctanba，是錯誤的，因為arctanba∈-π2，π2，例如：-sinx+cosx=sin（x+34π），然而arctan（-1）=-π4。

后記：輔助角公式是“三角函數”一章的派生公式，與三角函數的定義，兩角和差的正余弦，向量的數量積有著密切聯系，因此分析知識之間的內在聯系，整合開發教材現有資源，有助于挖掘揭示其數學的內涵與本源。不但讓學生“知其然”，而且“知其所以然”，這對完善學生的認知結構，提高學生的思維品質大有裨益。

作者簡介：李賢江，四川省成都市，四川省成都石室中學。endprint