關于均值不等式的幾點思考

摘要：在不等式理論當中，均值不等式是其核心內容。在教學中，幫助學生掌握均值不等式相關理論知識和公式，所起的作用顯著。本文通過聯系教學實踐以及高職數學教學當中的相關內容，探討了對均值不等式的基本認識、均值不等式的運用，希望能夠提供一定的教學參考。

關鍵詞：均值不等式；教學思考；運用

一、 均值不等式的基本認識

均值不等式在中學數學當中已經出現，形成一個基本的公式，即ab≤a+b2（a，b≥0），它在不等式的相關內容中具有核心地位。在初等數學當中，要求當且僅當a=b時，等號成立。根據ab≤a+b2（a，b≥0）則有幾個基本的均值不等式公式。它們均要求a，b...均相等時，等號成立。同時還有一個基本要求在于運用均值不等式求最值時，有“一正二定三等”基本規定。基于上述基本公式，可拓展出一個固定的不等式鏈條，即：21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22。基于這個基本形式可以將其推廣至n維。

二、 均值不等式的運用

均值不等式可以運用至多個數學問題當中，并以此來解決問題。比如最值問題、極限問題、不等式證明等。

（一） 最值問題

數學中的求最值問題，最有效的手段就是利用均值不等式。

例若x<54，試求y=4x-2+14x-5的最大值。

解析：從已知條件和原式來看，將已知條件變換之后可以得到5-4x>0，而原式當中4x-2以及14x-5并不是常數，所以需要對其進行拆分、湊項，用換元法解決問題。分析原式等于4x-5+14x-5+3，也就可以得到算式-5-4x+15-4x+3≤-2+3=1，只有當4x-5=14x-5，即x=1時上述算式成立。所以當且僅當x=1時，y取最大值1。結合這一問題，直接用湊項的方法就可以解決。

（二） 不等式證明

例若f（x）在區間連續，x∈[a，b]，f（x）>0，試證明∫baf（x）dx∫badxf（x）≥（b-a）2。

解析：對于這一問題，利用基本的不等式鏈條21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22及其拓展來分析，取調和平均數與算術平均數之間的關系進行證明，則比較簡單，即21a1+1a2+…+1an≤a1+a2+…ann，即（a1+a2+…+an）·1a1+1a2+…+1an≥n2，根據已知條件可知f（x）和1f（x）在[a，b]區間內均可積，此時利用積分定理，把區間n等分，進一步用均值不等式結合換元后命題即可得證。

三、 注意等號成立條件的限制

結合上述分析，不難看出，運用均值不等式關鍵在于一正二定三等，它們應當同時存在，缺一不可。在基本不等式復習課堂上，要求學生計算f（x）=sinx+2sinx（sinx≠0）的最小值。學生很快就計算得出答案22。計算方式采用均值不等式。但是在教學中提出問題，能夠培養學生質疑能力。例如：22是否為最小。這個問題提出之后，學生開始展開討論，發現似乎還有負值，沒最小值。這種疑問顯然忽略了均值不等式的一個前提條件“一正”。通過轉換后提負號這個條件就使用了，此時答案可正可負，如果限定sinx>0，最小值就是22，此時筆者要求學生解方程sinx+2sinx=22，發現無解。也就是說最小值為22是錯誤的。其實這個答案是正確的，因為學生忽略了第三個條件—“三等”。

尤其是這個“三等”，不注意就會導致解題失誤。因為等號成立的條件有一定的制約作用。

結束語

均值不等式的價值重大，包含初等數學和高等數學相關知識點。高職數學教學中，使學生掌握好均值不等式具有十分重要的作用。結合教學經驗進行了知識點的探討與思考，可能有所不足，但是具有一定的教學參考價值，希望能夠起到拋磚引玉的作用。

參考文獻：

[1] 趙秀.均值不等式的應用與實踐[J].黑龍江科學，2016，23：25-26.

作者簡介：孔慶榮，江蘇省鎮江市鎮江高等職業技術學校。endprint