丟番圖方程x2+11=y3

摘 要：對于某些整數d，若Q（d）是Euclid域，則在對應的Euclid整環中算術基本定理成立。利用此來證明不定方程x2+11=y3的整數解僅有（x，y）=（±4，3），（±58，15）。

關鍵詞：丟番圖方程；整數解；唯一分解整環

對于不定方程：

x2+C=yn

已經有很多作者做過研究，其中在C=1，4時，在潘承洞、潘承彪《代數數論》一書中證明該方程的整數解分別是（x，y）=（0，1），

（x，y）=（±2，2），（±11，5）。在C=16時，2006年廖江東證明了該式無整數解。當C=4n（x≡1（mod2））時黃勇慶證明了該不定方程式的整數解僅有（x，y，n）=（±11，5，1）。

對于該方程的另一種情況，在C=16時關于不定方程x2+11=y3已經有過一定研究工作，前作者證明該方程只有整數解（±58，15），其證明的結論是不全面的。本文中作者結合Euclid整環的相關性質，對該方程的整數解問題重新作出證明，并對結論加以修訂。

定義1 Euclid整環：設M是整環，如果存在一個M的全體非零元素到自然數的集合的函數 ，使得對任意的 ，一定有 ，滿足 ，這里 或 且有 ，那么M就稱為M的Euclid整環。

定義2 Euclid域：Euclid整環對應的分式域叫做Euclid域。

定義3 唯一分解整環：設D是因子分解整環，若任意的非零非單位α∈D，都可以唯一的表示為D中不可約元素的乘積，則D為唯一分解整環。

定理1 對于Euclid整環，其自身是一個主理想整環，從而必定是一個唯一分解整環。

定理2 假設M滿足唯一分解整環的性質，從而對于正整數k≥2，以及α，β∈M，（α，β）=1，必有：當αβ=γk，γ∈M時，必有：

α=ε1?k，β=ε2νk，?，ν∈M

并且其中ε1，ε2兩個元素是M中的單位元素，而且ε1ε2=εk，ε也為M的單位元素。

定理3 在虛二次域 當中，是Euclid域的只有以下五種情況：分別是d=-1，-2，-3，-7，-11.

證明：不定方程

x，y∈Z（1）

的整數解僅有（x，y）=（±4，3），（±58，15）。

證明：由于二次域 為Euclid域，且僅有單位數±1，其中

是一組整基。從而整環 中的整數形如 的形

式，且 ，即a，b同奇同偶，其中a，b∈Z。

由（1）式得

x，y∈Z

令 ，由于 ，由整除性質知： 。

若 從而： 為整環 中的整數，從而 ，

，所以 。從而（1）式左邊： 與右邊 矛盾。

若 從而：在 中 是素數，從而 或 。若 ，則由 ，顯然 ，兩邊取范數得： 。從而 并且由（1）式知 ，從而 由（1）式知 ，矛盾。從而 ，由引理知

a，b∈Z

上式整理得

比較等式系數可得：

由第二式知：b=±1，±2，±22，±23

若b=1，由二式得： ，由于a∈Z，不可能

若b=?1，由二式得：a=±1，從而 。

若b=2，由二式得：a=±4，從而 。

若b=?2，由二式得： ，由于a∈Z，不可能

若b=±22，±23，由于a，b同奇同偶，從而由二式知：

左邊 右邊 矛盾

綜上可知不定方程 的整數解僅有（x，y）=（±4，3），（±58，15）。

參考文獻

[1]潘承洞，潘承彪.代數數論[M].山東：山東大學出版社.2003.

[2]馮克勤.代數數論[M].北京：科學出版社，2000.

[3]廖江東，柳楊.關于不定方程 [J].四川理工學院學報（自然科學版），2007（2）：4-5.

[4]黃勇慶.關于不定方程 [J].四川理工學院學報

[5]高麗，趙彩紅，趙喜燕.關于不定方程 [J].延安大學學報（自然科學版），2014（1）：7-8

作者簡介

王振（1984-），男，山東臨沂人，講師，碩士，從事基礎數學研究。