探究分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

吳明東

摘 要：分類討論思想是現(xiàn)代各學(xué)科教學(xué)中一種重要的解決問題的方法和思路，也是現(xiàn)代科學(xué)研究處理復(fù)雜問題的有效途徑之一。因此，提高分類討論思想的引導(dǎo)，讓學(xué)生盡早掌握分類討論思想的運(yùn)用技巧和優(yōu)勢，對于培養(yǎng)高素質(zhì)人才有著重要意義。

關(guān)鍵詞：分類討論 初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思想

一、常見分類思想運(yùn)用領(lǐng)域

解數(shù)學(xué)問題往往可以有眾多的思想方法，如轉(zhuǎn)化化歸，數(shù)形結(jié)合，分類討論，數(shù)學(xué)建模等等，而在這些思想方法中分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想。從數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理以及公式的限制條件進(jìn)行討論。

1.在初中的數(shù)學(xué)課程中，有許多數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的。比如實(shí)數(shù)的絕對值是否大于本身，所以應(yīng)用此類概念進(jìn)行解題時，就需要進(jìn)行分類討論。

2.同時，一些定理、公式等數(shù)學(xué)內(nèi)容也有分情況予以表述的，或者有特定的適用范圍，比如二次曲線函數(shù)的最大值和最小值問題，在運(yùn)用此類定理、公式解題時，一定要注意分類進(jìn)行討論，讓學(xué)生領(lǐng)會定理、公式的適用范圍。

3.每個數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會影響問題的解決，由數(shù)學(xué)解題中的思考----分類討論思想的應(yīng)用。

4.除此以外，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程經(jīng)常會遇到分類問題，如數(shù)的分類，圖形的分類，代數(shù)式的分類等等，在研究數(shù)學(xué)問題中常常需要通過分類討論解決問題，從滲透在教材中的分類思想出發(fā)，結(jié)合例題闡述了分類討論的思想，分類的原則，分類討論的應(yīng)用，從而體現(xiàn)分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的作用和地位。

二、分類討論的原則

分類討論必須遵循一定的原則進(jìn)行，在初中階段我們經(jīng)常用到以下幾個原則

1.同一性原則

分類應(yīng)該按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類依據(jù)，否則會出現(xiàn)重復(fù)的現(xiàn)象。例如有些同學(xué)認(rèn)為實(shí)數(shù)可以分為正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、和零。這樣的分類是錯誤的，犯了標(biāo)準(zhǔn)不同的錯誤。分類標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一，必定會導(dǎo)致分類結(jié)果的錯誤。

2.互斥性原則

分類后的每一個子類應(yīng)該彼此獨(dú)立互不相容的，即不能出現(xiàn)有一項(xiàng)既屬于這一類又屬于那一類。例如學(xué)校舉行運(yùn)動會，規(guī)定每個學(xué)生只能參加一項(xiàng)比賽，初一六班的6同學(xué)報名參加100和200米的賽跑，其中有4人參加100米比賽，3人參加200米比賽，那么就有1人既參加100米又參加200米比賽，這道題目分類就違背了互斥性原則。

3.完整性原則

分類后的每一個子類合并起來應(yīng)該等于總類，否則會出現(xiàn)遺漏的現(xiàn)象。例如某人把實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)，這樣的分類是不完整的，因?yàn)榱阋彩菍?shí)數(shù)，但是零既不是正實(shí)數(shù)也不是負(fù)實(shí)數(shù)。

4.多層性原則

分類討論應(yīng)該逐級有序的進(jìn)行，分類后的子類還可以繼續(xù)再進(jìn)一步分類，直到不能再分為止。例如實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)可以分為正整數(shù)，零和負(fù)整數(shù)。

三、分類討論的應(yīng)用

我們用分類討論的思想解決問題的一般步驟是：

（1）先明確需討論的事物及討論事物的取值范圍

（2）正確選擇分類的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理的分類

（3）逐類討論解決

（4）歸納并作出結(jié)論

下面淺談一下分類討論在初中階段的一些簡單的應(yīng)用：

例如：試比較1+a與1-a的大小。

分析：常規(guī)的比較大小的方法有很多種，現(xiàn)階段最常用的是作差法。兩個數(shù)量的大小可以通過它們的差來判斷：

①a>b即a-b>0

②a=b即a-b=0

③a

解：作差（1+a）-（1-a）=2a

分類討論：

①當(dāng)a>0時，2a>0，即（1+a）-（1-a）>0，即1+a>1-a

②當(dāng)a=0時，2a=0，即（1+a）-（1-a）=0，即1+a=1-a

③當(dāng)a<0時，2a<0，即（1+a）-（1-a）<0，即1+a<1-a

答：當(dāng)a>0時，1+a>1-a；

當(dāng)a=0時，1+a=1-a；

當(dāng)a<0時，1+a<1-a。

例如：已知△ABC周長為20cm，AB=AC其中一邊邊長是另一邊邊長的2倍，BC長多少？

解：設(shè)AB=AC=x

①當(dāng)AB=2BC時，BC=0.5x據(jù)題意，列x+x+0.5x=20，解得x=8cm，則BC=0.5x=4cm

②當(dāng)BC=2AB時，BC=2x據(jù)題意，列x+x+2x=20，解得x=5cm則BC=2x=10cm

檢驗(yàn)：當(dāng)AB=2BC時，三邊長為8cm，8cm，4cm，可組成三角形；當(dāng)BC=2AB時，三邊長為5cm，5cm，10cm，不可組成三角形，舍。

答：BC長為4cm

學(xué)生在解此類題的錯誤往往是因?yàn)椴徽J(rèn)真審題，沒有弄清已知條件中的各種可能情況而急于解題所造成，只有審清了題意，全面系統(tǒng)地考慮問題，才可以確定出各種可能情況，解答此類問題就不會造成漏解.分類討論思想在幾何題中有廣泛的應(yīng)用，在有關(guān)點(diǎn)與線的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，等腰三角形等的題目中都需要進(jìn)行分類討論。

例如：等腰三角形中，有一個角是另一個角的4倍，求等腰三角形的一個底角的度數(shù)？

分析：本題應(yīng)該分為底角是頂角的4倍和頂角是底角的4倍兩種情況進(jìn)行討論

解：（1）當(dāng)一個底角的度數(shù)為x度，頂角是4x度時

依題意列方程x﹢x﹢4x=180解得x=30，底角等于30度

（2）當(dāng)一個底角的度數(shù)為4x度，頂角是x度時

依題意列方程4x﹢4x﹢x=180解得x=20，底角等于80度，綜上所述，等腰三角形的底角為30度或者80度。

分類討論思想的應(yīng)用非常廣泛，涉及到初中的全部知識點(diǎn)，這里不能一一列舉出來，分類討論思想的關(guān)鍵是分清引起分類的原因，明確分類討論的事物和標(biāo)準(zhǔn)，按可能出現(xiàn)的所有情況做出準(zhǔn)確分類，再分門別類加以求解，最后將各類結(jié)論綜合歸納，得出正確答案。數(shù)學(xué)中的分類思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過加強(qiáng)數(shù)學(xué)分類思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性，縝密性，科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對學(xué)生的未來必將產(chǎn)生深刻和久遠(yuǎn)的影響。分類討論思想貫穿中學(xué)整個數(shù)學(xué)課程的始末，充分發(fā)揮分類討論思想的優(yōu)勢，可以將復(fù)雜的問題大大簡化，不僅有助于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，還有助于培養(yǎng)的數(shù)學(xué)思維能力。