要想構建概念，必先理清關系
——以“乘法分配律”教學為例

江蘇鹽城市建軍路小學 于正軍

“乘法分配律”是小學階段數學學科中一個十分重要的定律，相對而言，它形式更為復雜，使用范圍更為寬泛，理解難度更大。“乘法分配律”涵蓋了乘法和加法兩種運算的內在運行機制，需要一定的綜合能力才能靈活掌握和應用兩位數乘法計算次序、矩形周長公式的提煉、路程等問題。

一、聯系生活實際 提取原始經驗

創設貼近學生生活現實的情境，能有效提取學生的生活經驗。課本以綠化活動為話題情景，全面展示了綠化的各個環節。教學時不妨讓學生根據主題圖提煉信息，學生可以暢所欲言，也可以結合圖中文字轉述，再引導學生根據這些信息提問。可供參考的問題很多，其中“參加綠化活動的人數是多少？”這個問題包含了乘法分配律解決問題的可能性。題目相關信息：共有23個小隊，每隊中有3人從事植樹種草工作，2人從事清掃垃圾工作，2人取水育苗。每隊要種7棵松樹苗，每棵樹苗需要先澆2桶水。

思考：參加綠化活動的共有多少人？哪些條件對你解題有幫助？

這兩個問題是很容易想到的。如第一問：求總人數，這是每學期都會接觸到的總量問題。無非就是部分量加部分量等于總量，體現的也是分量和總量之間的關系，只是因為數據不同而可以選擇不同方法，當每份數相等時，采用乘法計算。第二問：哪些條件對你有所幫助？篩選有用條件，也是解題的必備技能。聯系綠化活動實際，可以喚起學生的學習興趣，促進學生解決實際問題。學生一般會選用慣用的方法解題，如（3+2+2）×23與3×23+2×23+2×23，從中不難發現學生的經驗已被激活。

二、分層理解數理關系 促進概念重塑

教師在教學“乘法分配律”時，從發現相等到探究真相，可以通過兩個層次來教學，多層次幫助學生完成意義構建。

（一）追根溯源，發現相等

生1：（3+2+2）×23=161（人）

生2：3×23+2×23+2×23=161（人）

思考：（3+2+2）×23=161與3×23+2×23+2×23=161這兩個式子能不能畫等號？

學生能從結果相同判定算式相等，也能通過對題意的分析，看出只要算式的指向性一致，結果就是對的。當然這只是低層級的發現，沒有多少思維含量，此時學生的思考是機械淺表的，只有進行深度思考才能完成意義構建。

（二）深度加工，證明相等

前面是結合題意和得數來判別算式相等的，而運算定律的學習掌握一定要達到抽象意識的高度，也就是拋開一切材料表象，單純就算式本身，來理解相等的合理性、合規性。

思考：（3+2+2）×23=161與3×23+2×23+2×23=161這兩算式，一個求積，一個求和，積與和是兩碼事，怎么最后畫起了等號？

這個問題看似簡單卻暗藏玄機，學生既要追溯加法、乘法的淵源，又要熟知四則運算混合后的運算定律，經過一段時間的充分醞釀思考，學生可以闡述清楚：左邊是先求出每隊總人數，再求出23隊總人數，所以是求積；右邊先分別求出綠化團中各個工種的總人數，再把各個崗位上的人數加起來，所以是求和；其實它們的目標是一致的。教師適時引導，學生就能理解7個23與4個23加2個23再加上2個23，其實是一致的。

通過打通“求積”與“求和”之間的邏輯關聯，學生提取已有的認知經驗，證明兩個算式是相等的。

三、檢視細微差異 加固模型結構

數學活動經驗包括經歷回憶和提取經歷教訓的過程。只有釋放更多的空間讓學生自由探究，獨立思考與充分研討，對問題的審讀才能全面深刻，使思路更明確，方法更多樣，概念理解更到位。

細節只有通過用心查驗才能發現。“乘法分配律”一般是先理解算理再理解定律公式，一旦學生理解了公式，就會立即進行應用，這樣機械記憶和生搬硬套就會裹帶進去。所以筆者認為，有必要讓學生仔細甄別排查兩個算式的細微差別，找出結構特征上的關聯。

思考一：兩個算式雖結果相等，但是形式不一樣。

學生從兩個角度描述異同點：

第一，字符算符不一，一個有括號一個沒有；“+”和“×”的數量與排列分配不一樣。

第二，數字不一樣，一個算式23只出現1次，一個算式23出現3次。

思考二：右邊算式23為什么出現了3次？左邊算式3、2、2都是加數，到了右邊怎么變成乘數？

思考三：用自己的語言講一講，兩個算式是怎么轉化的。

生：從左往右看，三個數的和與一個數相乘，可以把每個加數分別與公共關系因數相乘，分步分批求積，再累計。從右往左看，帶有公共因數的幾個單項式，可以將公共因數提取出來，再求出積。學生的陳述過程其實就是分析理解分配律的過程。

對于一些基本數學概念公式定理的理解掌握，學生僅僅做到熟練使用是不夠的，必須做到靈活運用隨機變換。“乘法分配律”既難以理解又難以表述清楚，高年級的學生也是較難理解的。由此可見，大量練習是能夠起到鞏固強化作用的。

日籍教育博士佐藤學認為：學習是與外部世界相遇、相知、相交的過程，通過與外部世界的交互對話，學習者重新建立了與對象世界的精神關系。在“乘法分配律”的學習過程中，學生經歷類似的精神交流，溝通實際，激活經驗，分層推進對關系的理解，唯有如此，他們才能切實理解和把握乘法運算律。?