利用韋達定理巧解數列通項

郭炅

摘 要 本文介紹了從一元二次方程的角度去看待連續兩項的對稱二次式，通過韋達定理實現條件的降次，化簡，從而求出數列的通項。把方程的思想運用于數列中，實現了知識的交匯，有利于提高學生的解題能力。

關鍵詞 高中數學 數列通項 韋達定理 巧解數列

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2017.12.036

Abstract This paper presents a new way to treat symmetric quadratic expression whose adjacent terms are consecutive from the angle of quadratic equation of one unknown. It is based on Viete theorem to simplify and reduce the order of the equations so as to calculate the general term of sequence. Applying the method of equations realizes the comprehensive use of knowledge and can help improve students problem solving ability.

Keywords high school mathematics； general term of sequence；Viete theorem； clever solution to the progression problems

求數列的通項公式是數列問題中的重要題型之一，它通常作為解題的著眼點和關鍵點，是高考中的重點， 比賽中的難點。在求解數列通項問題中，一種是已知數列類型和數列中的幾項求通項，另一種是由給出的遞推式求通項，所以求解通項公式的方法靈活、策略多變。而對于二次多項遞推式，由于項數較多且二次項比較難處理，很難通過常規方法解決。但是從二次方程的角度去聯想，若能利用二次方程的韋達定理，通過兩個根找到新的關系式，就能夠起到化繁為簡的作用，有意想不到的效果。

對于形如的連續兩項的對稱二次式，可以利用韋達定理求出通項。

解：已知

整理得

①

由于其為對稱式，交換①式中和可得

②

②式中用代替得到

③

①③式說明了和是方程

的兩根，由韋達定理

從而化為二階非齊次線性遞推數列，下面依照二階非齊次線性遞推數列解法求解即可。

若則

令

化為等差數列

若，令，

此時與比較得，

令有

即轉化為二階齊次線性遞推數列的形式，運用二階齊次線性遞推數列通項公式，如下：

若

若

從而

其中

若

從而

其中

雖然有時給出的遞推式不易觀察出為連續（下轉第175頁）（上接第79頁）兩項的對稱二次式，如無理遞推式，但可化為連續兩項的對稱二次式，這是因為要利用韋達定理，必須符合一元二次方程的結構，由于找到兩根和一元二次方程是通過數列的腳注變動實現的，所以這就要求了遞推式的結構和系數，必須要符合連續兩項的對稱二次式的結構。

例1：已知，，求

解：，

令，解得

按整理：

按整理：

說和是方程的兩根

由韋達定理

令

點評：觀察到遞推式有二次和對稱的特點，展開之后分別選擇不同的主元進行變形，再通過變動腳注的方法使結構符合一元二次方程并確定兩根。

例2：已知數列滿足，，求此數列的通項公式。

解：由

移項平方得 ①

用代替上式的得

②

由①②知 ，為二次方程的兩個不等根，由韋達定理得，

這是一個二階線性遞推數列，其特征方程為

則特征根為，，故其通項為

由及，可得，于是滿足下列方程組

解得

點評：處理根式最直接的方式就是平方，雖然遞推式看上去沒有對稱性，但經過平方后依然符合要求。運用韋達定理后得到二階線性遞推數列，需要用特征方程的方法來繼續完成。此題遞推式平方后可以進行因式分解，可與使用韋達定理得到相同的答案。

參考文獻

[1] 高煥江.二階線性遞推數列的通項[J].保定學院學報，2010-05-25.

[2] 唐擘.遞推數列的通項公式[J].科技創新導報，2010-04-11.endprint