運(yùn)用幾何直觀方法 類比解答同類問題

許蕓

在解決問題當(dāng)中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)面對復(fù)雜多變的問題情境，學(xué)生無從下手胡亂解答的情況。

比如人教版五上“出租車中的分段計(jì)費(fèi)問題”，有這樣一道題：

下面是某市出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)。（不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)算）

李叔叔打車從家到單位一共行駛11.2km，算算李叔叔一共要付多少錢？

這道題跟課本例題一樣，都是出租車情境，只是由二段計(jì)費(fèi)拓展到三段計(jì)費(fèi)。學(xué)生的錯誤率就非常高，常見錯誤如下圖：

錯誤原因是第二段的行駛路程弄錯，本質(zhì)是缺乏幾何直觀的抓手，對每段的分段數(shù)量不清楚。

還比如在學(xué)習(xí)用公因數(shù)和公倍數(shù)解決問題當(dāng)中，很多學(xué)生容易弄混這兩種不同的類型，比如在人教版數(shù)學(xué)書81頁練習(xí)十二中的這道習(xí)題：

題目應(yīng)該是求最大公因數(shù)，學(xué)生卻求了最小公倍數(shù)，說明學(xué)生沒有理解這類問題的本質(zhì)。

因此在教學(xué)中，如果能夠運(yùn)用一定的手段對此類問題進(jìn)行溝通，如建構(gòu)直觀形象的幾何模型，使學(xué)生有解決問題的方法，就能提高學(xué)生解決問題的能力。

一、引入方法，幫助審題

幾何直觀有利于把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單、形象，特別在問題的數(shù)學(xué)化表征中有著很大的作用。在常規(guī)的教學(xué)中我們應(yīng)鼓勵學(xué)生進(jìn)行多樣化的信息表征，然后進(jìn)行優(yōu)化，最后凸顯幾何直觀表達(dá)信息的優(yōu)越性。建立幾何直觀模型，是為審題搭建腳手架。

比如這道分段計(jì)費(fèi)問題：

某市按以下規(guī)定收取水費(fèi)：用水量不超過3噸的，每噸收費(fèi)2.5元；超過3噸不超過10噸的部分，每噸收費(fèi)3.5元，超過10噸的部分，每噸收費(fèi)4元。小強(qiáng)家9月份的用水量是12.5噸，應(yīng)付水費(fèi)多少錢？

學(xué)生用文字、畫表格和畫線段圖等不同方式表征信息。如圖：

在確定線段圖是最簡單、形象的表征方式后，教師再追問一句：畫表格和畫線段這兩種方法有什么共同的地方？然后將兩幅圖疊在一起（如下圖），學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩者都清晰地表示出了每段的數(shù)量和對應(yīng)的單價(jià)，由此學(xué)生初步感知了分段計(jì)費(fèi)問題的幾何模型。

還比如“用最大公因數(shù)解決問題”中的例題，在信息呈現(xiàn)方式中這種畫圖的方式特別優(yōu)化，在分析解答中，學(xué)生明確問題的本質(zhì)就是求長和寬的公因數(shù)后，再在原先的直觀圖中抽象出平面數(shù)軸圖（如下圖）。三幅圖層層遞進(jìn)，幫助學(xué)生對題意本質(zhì)的理解。

二、妙用方法，明了算理

妙用幾何直觀，使學(xué)生在類比溝通中明了算理。如設(shè)計(jì)鞏固練習(xí)題，讓學(xué)生運(yùn)用建立的幾何直觀，掌握同類問題的解題方法。

在“分段計(jì)費(fèi)問題”中可設(shè)計(jì)一道選擇題，如：

某停車場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：前3h內(nèi)收費(fèi)5元，超過3h不超過10h的部分每小時(shí)收費(fèi)2.5元，超過10h的部分每小時(shí)收費(fèi)4元。李叔叔的車在該停車場停了12.5h，他一共要付多少錢？（不足1h按1h算）

A. 12.5×4

B. 5+（12.5-3）×4

C. 5+（10-3）×2.5+（12.5-10）×4

D. 3×5+（10-3）×2.5+（12.5-10）×4

此題的正確答案是C，但教師不僅要求學(xué)生能找準(zhǔn)正確答案，還要求學(xué)生能根據(jù)錯誤的選項(xiàng)改編題目，達(dá)到一題多練和逆向運(yùn)用方法的效果。如果答案是A，題目應(yīng)該這樣改編（劃去題目中的條件）：

同時(shí)出示線段圖，讓學(xué)生明確其實(shí)它是一段計(jì)費(fèi)問題。

如果答案是B，應(yīng)該這樣改：

配合線段圖理解，它是兩段計(jì)費(fèi)問題。

如果答案是D，在條件中添加“每小時(shí)”。

配合線段圖，可直觀理解它是三段計(jì)費(fèi)問題。如此可鍛煉學(xué)生仔細(xì)審題的品質(zhì)。

最后將3個(gè)線段圖合成一幅圖，明確不管是一段計(jì)費(fèi)、二段計(jì)費(fèi)還是三段計(jì)費(fèi)問題，都要明確每段的數(shù)量和對應(yīng)的單價(jià)，然后將每段的總價(jià)加起來。這是解答這類問題的幾何模型和方法。

三、活用方法，提升能力

任何模型的建構(gòu)都是為了靈活廣泛地運(yùn)用。因此教師可以引導(dǎo)學(xué)生從深度和廣度上靈活運(yùn)用幾何直觀方法，進(jìn)行深層次和多維度的類比溝通，提升學(xué)生解決問題的能力。

比如在分段計(jì)費(fèi)問題的提高練習(xí)中，可根據(jù)這個(gè)幾何直觀模型結(jié)構(gòu)讓學(xué)生自己嘗試著編一道分段計(jì)費(fèi)問題。在課堂中很多學(xué)生還突破模型結(jié)構(gòu)，創(chuàng)造出四段、五段的計(jì)費(fèi)問題和逆向思維的題目（如下圖），深刻體現(xiàn)出對幾何直觀模型方法不是僵化地理解，而是靈活地運(yùn)用。

同樣在用公因數(shù)解決問題后，教師讓學(xué)生探討可以放棱長最大是幾分米的正方體紙箱疊滿房間的問題。最后通過直觀操作，抽象出空間數(shù)軸圖，并對比之前的平面數(shù)軸圖，明確這類問題的本質(zhì)就是求多個(gè)數(shù)的公因數(shù)。

兩次課堂實(shí)踐驗(yàn)證了運(yùn)用幾何直觀方法類比溝通解答同類問題的可行性和有效性。在平常的教學(xué)中如果能夠善用幾何直觀方法，建立與同類問題的聯(lián)系，相信會帶來更多的驚喜。比如在低段教學(xué)中我們經(jīng)常遇到的里程問題、水電表問題、經(jīng)過時(shí)間問題、看書頁數(shù)問題等，其實(shí)都屬于累計(jì)計(jì)數(shù)問題。教師同樣可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)軸圖幾何直觀的方法建立聯(lián)系，提升學(xué)生解決同類問題的能力。

小紅看一本書，星期一看到43頁，星期二看到78頁，星期三看到120頁，小紅星期三一共看了多少頁？

運(yùn)用幾何直觀方法類比解答同類問題是非常有效的教學(xué)方法，它不僅能幫助學(xué)生理解分析題目，還能為學(xué)生找到同類問題的本質(zhì)聯(lián)系建立直觀的形象支撐，有助于學(xué)生掌握同類問題解答的基本方法。

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（浙江省杭州市濮家小學(xué) 310000）