十年變遷：“倍的認識”教學思辨與重構

方蘇云

【摘 要】“倍的認識”是小學生數學認知結構從“加法結構”到“乘法結構”的轉折點，“倍”是小學生跨越“量”到“率”的第一步。從經歷教材十年前后的變與不變，結合自身十年前后教學實踐的變與不變，重新審視課堂、思辨學習方式、重構教學過程，以此達成“倍的認識”概念教學策略的轉變，實現深度理解“倍”的本質內涵。

【關鍵詞】倍的認識；十年變遷；思辨與重構

一、聚焦問題：十年前后“倍的認識”教學現象與困惑

（一）遇見的“倍的認識”的教學現象

筆者在區級公開教研活動中多次聽“倍的認識”一課，教師的教學流程大致可概括成兩類。

第一類：基于人教版現用教材的主題素材展開

探索新知素材來自現用的人教版教材的情境圖：胡蘿卜2根，紅蘿卜6根，白蘿卜10根，通過逐步討論三者間的幾倍關系，初步理解“倍”的意義；通過改變物體數量來加深理解“倍”的意義。

第二類：基于人教版實驗教材的主題素材展開

筆者十年前用人教版實驗教材上的“倍的認識”的教學流程。

筆者將教材的4個2改成3個2進行初步感知倍，然后進入多倍和1倍的理解，運用線段圖等找“幾倍”，隨機滲透“幾倍多幾或少幾”，最后延伸到倍的應用。

（二）對比十年前后“倍的認識”教學及困惑

面對上述十年前后的課堂教學流程的極其“相似性”，筆者困惑了。

1.十年前后課堂學習材料的來源基本來自“教師”，是否可以改變

十年前后的課堂教學中絕大部分學習材料來自“教師”的事先預設，只在“多倍”理解中有少數材料來自“學生”。十年前后材料的情境外衣發生了變化，但實質是“幾個多少”，即“多少的幾倍”，那么我們是否可將這個“干貨”回歸到更簡單質樸的數學情境中，讓學生參與“創造”知識的過程，在創造知識的過程中又創造學習材料，讓學習真實發生。

2.十年前后學習方式依然不變，能否可以轉變

十年前后的“倍的認識”學習方式基本不變：都是在教師的啟發下理解“幾個多少”就是“多少的幾倍”。在新一輪課程改革中，我們能否尊重學生的思維差異，創設“生生互動、生生互利”的學習環境，讓學生獲得更大的自由表達和展示機會，讓不同的學生都有任務可做，發生真正意義上的“自主學習、探究學習”，在充分動手操作中積累基本活動經驗，提升學生的學習能力。

二、聚焦教材變遷：十年之前和十年之內的變與不變

帶著困惑，揣著思辨，筆者又一次翻閱對比了十年前后的教材，以人教版教材為例。

（一）從教材的編排對比中看不變

【十年前教材】

【十年后教材】

從上述對比中可看出，“倍的認識”依然包括“倍的概念”“求一個數的幾倍是多少”和“求一個數是另一個數的幾倍”，在概念學習后進行解決問題的教學；倍概念教材都呈現三個量，一個量為“標準量”，其余兩個量與“標準量”進行比較，從“幾個多少”引出“多少的幾倍”；在解決問題中教材都呈現示意圖和線段圖來幫助學生理解題意和探求方法的策略。

（二）從教材的編排對比中看變化

上表中可以清晰地看到，教材內容由比較零散到相對集中；形式由擺一擺的具體形象到圈一圈的更為抽象；策略由階段性的過渡到系統性的逐步提升。倍的教學后移，同時集中教學關于“倍”的數學問題，教學更富邏輯性與結構性。

三、聚焦教學變遷：十年之前和十年之后重構的變與不變

面對上述教材變遷，十年后筆者再次實踐“倍的認識”，在重構教學過程中思辨其中的“變與不變”。

（一）課堂教學依然不變的

1.學習支撐點的不變

綜觀“倍的認識”一課教材編排的位置，可以說學生學習“倍的認識”的支撐點不變。二、三年級的學生在過去數學學習中積累了很多數一數、比一比、圈一圈、畫一畫等活動經驗，基本具有觀察、比較、操作的能力。

“倍的認識”學習支撐點

2.教學內容基本不變

從教材的“變與不變”中，我們可以得到啟發，本節課教學中依然借助“幾個幾”與“倍”的融會貫通，突出“倍”的本質——兩個量的比較關系，強化概念辨析，深入意義理解。

（二）重構教學過程的變化

1.教學思路的變化

“倍的認識”教學后移，學生在乘除法的學習過程中，已有了“一份數”與“幾份數”的經驗積累及擺一擺、畫一畫的動手能力。更有一些學生已認識 “倍”的含義，因此在十年后的教學重構中以此為切入點，能打開另一種教學思路。

【十年前教學思路】

【十年后教學思路】

從思路對比中可看出，十年后所設想的更注重學生動手操作實踐的經驗積累，充分利用圖例“兩次”來直觀理解“2倍”，并建立“2倍”模型，同時延伸至簡單乘除法的解決問題；再從“2倍”過渡到“多倍”，通過變式加深理解“標準量”的重要性；最后由“一題”拓展到“一類”強化理解倍的本質——兩個量的比較關系，使知識結構化；再延伸至“倍數與因數”，使知識關聯化，解題策略模型化。

2.學習材料的變化

一份好的學習材料是組織學生體驗概念形成過程的重要載體。在十年前后實踐中筆者所采用的學習材料的來源發生了變化。

【十年前的教學材料】

【十年后的教學素材】

從十年前后所呈現學習材料的對比中清晰地看出，十年前的教學材料絕大部分是教師“給的”，而十年后所用學習材料基本來自學生，尤其是新知探究學習過程中幾乎所有的學習素材都由學生創作提供，教師選擇學習材料的范圍大大增加，也給教師調控的能力帶來了極大的挑戰！教師要快速參與學生間的學習，選擇合適的學習材料促進學生對“倍”內涵的理解。而學生可根據自己的學習能力獲得不同的學習體會和收獲，有了更大的學習時空和創新機會，充分體現了學生的主體地位。

3.學習方式的變化

“倍”的概念對三年級學生來說還是比較抽象，有必要在實踐操作中調動多種感官參與“創造”知識的過程。

二、三年級學生是以具體形象思維為主，他們對抽象概念本質的領悟，都必須以足夠的直觀材料和充分的實踐經驗為基礎。對比上面表格及材料，我們不難發現，十年前給二年級學生上“倍的認識”時，只有在“再識倍”這個環節中放手讓學生操作“擺一擺”多倍。除此以外的教學過程都是由教師“扶”著學生感知理解“倍的意義”，生生互動較少。而十年后在三年級學生學習“倍”時，整節課學生都處在“數一數、擺一擺、畫一畫，再畫一畫、做一做、分一分”的學習中，教師在重點、難點處介入學習，師生、生生互動比較多，學習方式呈現任務驅動化，讓不同的學生在完成任務過程中有不同的體悟。

4.拓展演繹的變化

與十年前相比，筆者設置的練習更是在“創造”性的“做”中鞏固新知，發展學生的學習能力。

【十年前的拓展方向】

在上面兩幅圖中找倍數關系，根據學生回答的情況來確定是否拓展“幾倍多幾”（少幾）”；根據課堂剩余時間的多少來確定拓展的量，如剩余時間多則拓展下面的解決問題，再延伸出線段圖的解題策略。

【十年后的拓展方向】

利用“一行”圓，涂出“幾倍”，延伸至總量中“部分量”間的比較，豐富倍的內涵；且答案多元，讓學生進一步感受“標準量”的重要性，不同的學生積累不同的活動經驗。讓學生體驗到有序思考的思想及解題策略。

在前一題的影響下，學生在做左圖時會進行有序思考，在追問中教師整理△的個數如右圖，學生體會到△既可以是標準量，也可以是比較量，再次內化“標準量”的聚焦地位，從這“一題”演繹成“一類”題，再次突破“倍”的本質。最后，通過分類“△少于○的，△與○相同的，△大于○的”，深刻體會“△與○相同”1倍關系的特殊性；從而滲透“因數和倍數”的概念，理解6的因數是有限的、6的倍數是無限的等相關知識，以探尋概念之間關聯性的思維路徑。

四、思考提升：“倍”概念教學的一般策略

回顧十年“磨”一課的經歷，筆者通過聚焦教材、教學的變與不變，也覓得了“倍”概念教學策略的變與不變。

（一）“倍”概念教學的不變策略

1.將“倍”的概念置于現實背景中去感悟和理解

數學概念是抽象的、嚴謹的、系統的，要給學生提供動態的、豐富的、全面的感知材料，去充實學生的感性材料。

2.“倍”概念的建構需要經歷多次反復

建構主義教學觀認為，概念的建構需要經過多次反復，經歷“建構—解構—重構”的過程。

3.注重“倍”概念的鞏固運用

概念教學一般應遵循“從生活中來—抽象成數學模型—到生活中去”的過程，強調從學生已有的生活經驗出發，尋找“倍”概念的縱向或橫向聯系，形成概念系統，使教材中的數學知識轉化成為學生頭腦中的認識結構。

（二）“倍”概念教學的重構實現學習策略的轉變

1.學習材料從“教師提供”走向學生的“創作”

在教學中教師習慣性地給學生提供一些豐富的素材，幫助學生理解概念內涵。但我們可以看到十年前教師給學生提供的學習材料（見圖1），十年后學生也能創作出類似的素材（見圖2），提供給全班學習，并且能結合自己的動手操作經驗進行解釋，感知“2倍”就是這樣的“2份”。

2.學習方式從“指令操作”走向“問題引領，任務驅動”

十年前的“倍”通過動畫的演示、動態的呈現，注重理解“（ ）是（ ）的幾倍”，強調誰與誰比，是碎片化指令性極強的學習方式。十年后，筆者嘗試用“你覺得2倍關系是怎樣的？”“你覺得2倍關系可以怎么表示呢？嘗試著擺一擺、畫一畫。”“你要研究幾倍，打算怎么畫？”隨著這三個大問題的展開，以“2倍”為起點與突破口，建立“2倍”模型，再走向“多倍”的理解，很自然地讓學生在任務驅動下逐步感知、深入理解概念的內涵，把握“倍”概念的本質。

參考文獻：

[1]葛素兒.基于圖式 情理相融——《倍的認識》教學設計與解讀[J].小學教學設計（數學版），2017（9）：34-35.

[2]斯苗兒，藍學敏，袁曉萍.改進材料，讓意義理解更加透徹——“百分數的認識”一課研究與實踐歷程[J].小學數學教育，2015（10）：29-35.

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