高中數(shù)學(xué)函數(shù)分類討論解題探析

張翰至

摘要：函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的一大難點(diǎn)。高中生普遍反映函數(shù)學(xué)習(xí)比較困難，因此探討函數(shù)解題策略就顯得至關(guān)重要。本文從函數(shù)概念出發(fā)，對(duì)分類討論思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中的應(yīng)用進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；分類討論；高中數(shù)學(xué)

函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線，是描述客觀世界變化的重要數(shù)學(xué)模型，它所蘊(yùn)含的思想與方法有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、問題解決能力、數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力。高中生為了掌握函數(shù)這部分的知識(shí)，往往通過盲目的題海戰(zhàn)術(shù)來提高解題技能。分類討論思想符合高中生接受知識(shí)的一般過程，容易被學(xué)生接受，因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要作用。隨著數(shù)學(xué)體系的快速發(fā)展，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中應(yīng)用分類討論思想，不僅可以在解題的過程中快速找到函數(shù)習(xí)題的具體類型，還可以提高學(xué)生的解題效率。

一、函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位與作用

函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)的一條主線，內(nèi)容被安排在高中教材必修1中，在數(shù)集的基礎(chǔ)上利用映射的思想闡釋函數(shù)的概念，緊接著是函數(shù)的表示方法、性質(zhì)等。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)逐漸加深的過程，必修1中函數(shù)的學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，必修2可以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，必修3可以培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，從而為必修4三角函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，函數(shù)思想方法貫穿于高中數(shù)學(xué)課程的始末。同時(shí)，函數(shù)也是高中到大學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、微積分、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)等高等院校開設(shè)的數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，是從不同的角度研究函數(shù)而形成的課程[1]。同時(shí)，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，它廣泛地滲透到其他學(xué)科中，比如：物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)等，這些學(xué)科常用函數(shù)知識(shí)作為研究問題和解決問題的工具，比如：可以利用三角函數(shù)測(cè)量山高、樹高、調(diào)整電網(wǎng)等問題。此外，函數(shù)思想方法也廣泛地滲透到其他學(xué)科中，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及其它學(xué)科的基礎(chǔ)。

二、數(shù)學(xué)中分類討論的常見類型

在進(jìn)行分類討論中應(yīng)遵循以下原則：明確分類討論的動(dòng)因與方法，條理不明，不重不漏，分清主次，不越級(jí)討論。若由于參數(shù)的不同取值造成原問題有不同的結(jié)論，作答時(shí)只能按類分述而不能合并。分類討論的常見類型主要包括以下幾個(gè)方面：

1、由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論。含絕對(duì)值的式子，去掉絕對(duì)值符號(hào)，需分正、負(fù)2種情況討論；直線的斜率，當(dāng)傾斜角為π/2時(shí)，斜率不存在；指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時(shí)，要分01進(jìn)行分類討論等。

2、由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論。差別式法的應(yīng)用中對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為0要進(jìn)行分類討論等。

3、由數(shù)學(xué)運(yùn)算引起的分類討論。對(duì)數(shù)真數(shù)的要求，商的運(yùn)算中分母不為0，利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性，三角函數(shù)的定義域，導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)不確定性或?qū)Ш瘮?shù)的零點(diǎn)大小不確定等，需要進(jìn)行分類討論。

4、由圖形的不確定性引起的分類討論。當(dāng)二次函數(shù)最值問題的求解中圖像的開口方向、對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系等時(shí)，需要進(jìn)行分類討論。

5、由參數(shù)的變化引起的分類討論。某些含有參數(shù)的問題，比如含參數(shù)的方程、不等式等，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法時(shí)，必須進(jìn)行分類討論。

三、分類討論解題在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的應(yīng)用

分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)解題思想，在數(shù)學(xué)解題過程中應(yīng)用分類討論思想，不僅可以簡化解題思路，還能培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題過程中，分類討論思想的應(yīng)用主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1、根據(jù)函數(shù)概念進(jìn)行分類討論。由于高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題相對(duì)來說難度較大，在進(jìn)行解題時(shí)，要將每一道數(shù)學(xué)函數(shù)問題進(jìn)行深度的剖析。而每個(gè)函數(shù)都有自身的定義和限制條件，在利用分類討論解題的過程中，我們要善于根據(jù)函數(shù)的定義以及限制條件，對(duì)問題進(jìn)行討論并解決。只有在明確函數(shù)的概念和使用范圍的基礎(chǔ)上才能使得分類討論解題真正地發(fā)揮其作用。比如：假設(shè)00且不為1時(shí)，比較│loga（1-x）│和│loga（1+x）│的大小。在解決該問題時(shí)，首先必須明確指數(shù)和對(duì)數(shù)的概念，以及兩者之間的聯(lián)系。在比較大小的過程中，需要學(xué)會(huì)將指數(shù)化為對(duì)數(shù)，通過對(duì)數(shù)直觀地進(jìn)行二者的比較。將二者變?yōu)閷?duì)數(shù)之后，再對(duì)x的范圍進(jìn)行分類討論，自然能夠得到想要的答案。

2、根據(jù)函數(shù)圖形位置進(jìn)行分類討論。在高中函數(shù)問題中，有一種類型的函數(shù)問題和函數(shù)圖像對(duì)稱軸的位置相關(guān)。在解決該類問題時(shí)，需要把握住對(duì)稱軸這一關(guān)鍵信息。通過對(duì)稱軸的位置，對(duì)圖像的形狀、交點(diǎn)等進(jìn)行分類討論，從而得出最終的答案。由于這類題型的特征比較明顯，因而可以通過圖像特征看出題目的意圖，從而進(jìn)行分類討論。比如：在xoy平面內(nèi)有一條曲線，y2=2x，點(diǎn)Q（b，0）是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，曲線上的點(diǎn)到Q思維最短距離為？（b），求它的函數(shù)解析式。在解決該問題時(shí)，我們應(yīng)該首先畫圖，通過畫圖找出Q點(diǎn)和函數(shù)上的點(diǎn)之間的關(guān)系，從而能夠借助對(duì)稱軸找出最短路徑[2]。找到最短路徑后，根據(jù)這個(gè)函數(shù)是關(guān)于x軸對(duì)稱，進(jìn)而對(duì)a是否大于1進(jìn)行討論就能夠得到最終的答案。

3、根據(jù)二次函數(shù)的類型進(jìn)行分類討論解題。與二次函數(shù)相關(guān)的問題主要有兩大類，定軸動(dòng)區(qū)間和動(dòng)軸定區(qū)間。兩種類型的函數(shù)解題方法天差地別，一旦將其混淆，就會(huì)降低解題效率和正確率。在解題時(shí)，首先需要將二者的區(qū)別進(jìn)行甄別。定軸動(dòng)區(qū)間的典型特征在于題目會(huì)提供一個(gè)完整的函數(shù)表達(dá)式，但區(qū)間是未知的[3]。在解決該問題時(shí)，應(yīng)該首先判斷對(duì)稱軸的位置，在此基礎(chǔ)上依據(jù)對(duì)稱軸的位置進(jìn)行區(qū)間范圍的劃分，從而分類解出答案。對(duì)于動(dòng)軸定區(qū)間，該類題型的典型特性在于給出的函數(shù)關(guān)系式是不確定的，但區(qū)間確定從而進(jìn)行系數(shù)的求解。在解決動(dòng)軸動(dòng)軸定區(qū)間這類二次函數(shù)時(shí)，我們需要分類討論函數(shù)關(guān)系式的多種情況，結(jié)合區(qū)間進(jìn)行求解。

四、結(jié)語

總之，高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題是一個(gè)極為復(fù)雜的問題。分類討論思想適用范圍廣，可以強(qiáng)化學(xué)生的理解能力，提高其解題效率。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉見樂，羅敏娜.用函數(shù)思想指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)解題[J].中國數(shù)學(xué)教育，2011，（10）：45-46.

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[3] 史曉偉.高中數(shù)學(xué)函數(shù)分類討論解題探析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2016，（02）：3-4.