淺談導函數(shù)知識在解決高中函數(shù)問題中的應用

摘要：本文主要是圍繞著導函數(shù)知識在解決高中函數(shù)問題中的應用進行討論，使學生全面了解求導及導函數(shù)的知識，并了解求導及求導函數(shù)的代數(shù)和幾何意義，熟練地運用導函數(shù)知識，從而增加學生學習數(shù)學知識的興趣，為在高考中取得良好成績打下堅實的基礎。

關鍵詞：導函數(shù) 高中數(shù)學 求導 函數(shù) 應用

本文主要是圍繞著求導及導函數(shù)知識來進行討論的。求導和導函數(shù)知識是近代數(shù)學，特別是高等數(shù)學中的重要基礎知識之一，甚至可以說數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何等高等數(shù)學知識體系的建立，最初都是構建在函數(shù)的求導和導函數(shù)的應用基礎上的。因此求導和導函數(shù)的知識是現(xiàn)代數(shù)學的基礎知識，也是今后學習數(shù)學知識的基礎。通過閱讀和學習高中數(shù)學教材，我們可以了解到求導及導函數(shù)的知識是新加入到高中教材的。將求導和導函數(shù)知識加入到高中教材中的目的，一方面是為了擴充高中學生對數(shù)學知識的了解，另一方面也是為了高中生以后進入大學學習高等數(shù)學提前做好基礎知識的了解，所以學好求導和導函數(shù)的知識非常重要。

一、求導及導函數(shù)的基本定義

導數(shù)是指，設函數(shù)y=f（x）在點x=x0及其附近有定義，當自變量x在x0處有改變量△x（則函數(shù)y相應的有改變量△y=f（x0+△x）-f（x0），這兩個改變量的比叫做函數(shù)y=f（x）在x0到x0+△x之間的平均變化率[1]。如果函數(shù)f（x）在（a，b）中每一點處都可導，則稱f（x）在（a，b）上可導，則可建立f（x）的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，記為f'（x）。

二、求導及導函數(shù)知識在求解高中函數(shù)問題中的應用

在高中的數(shù)學知識體系中，求導和導函數(shù)除了作為單獨的考點出現(xiàn)外，最大的應用范圍應該是在求函數(shù)的最大值、最小值和單調區(qū)間中。對比于傳統(tǒng)的求最大值、最小值和單調區(qū)間的方法來說，利用求導和導函數(shù)知識求函數(shù)的最大值、最小值和單調區(qū)間是更為方便快捷的。以往我們在求函數(shù)最大值和最小值的過程中，首先是要構造函數(shù)，然后尋找特殊點，最后才能確定函數(shù)的最小值或是最大值。對求單調區(qū)間也是一樣，我們需要構造函數(shù)，找到函數(shù)的波峰和波谷，然后才能找到對應的單調區(qū)間。這種方法對于求導和導函數(shù)的應用來說比較繁瑣，而且容易出現(xiàn)錯誤。

我們接下來舉例說明，利用傳統(tǒng)的方法與求導和導函數(shù)的方法來解決此類問題的優(yōu)劣對比。首先在傳統(tǒng)的方法中，假設f（x）=x2+2x+5（在實數(shù)軸上連續(xù)），那么如果我們想求f（x）的最值問題，首先要改造函數(shù)，f（x）=x2+2x+5=（x+1）2+4（在實數(shù)軸上連續(xù)），那么我們可以看出，該函數(shù)是有最小值的，函數(shù)的最小值點為x=-1，的點，函數(shù)的最小值是4。但如果利用求導和導函數(shù)的知識來解決該問題，就很方便快捷了。我們通過閱讀《數(shù)學分析》教材可以了解到，對于連續(xù)可導的函數(shù)，一階導數(shù)等于零的點為函數(shù)的極值點，若二階導數(shù)在該點大于零，則該點為函數(shù)的極小值點，若二階在該點小于零，則該點為函數(shù)的極大值點。從直觀上來看，f（x）=x2+2x+5（在實數(shù)軸上連續(xù)），又因為f（x）是初等函數(shù)，函數(shù)f（x）在實數(shù)軸上可導，所以可以求得函數(shù)f（x）=2x+2。2x+2=0，可求得x=-1，x=-1的點是函數(shù)的極值點，將x=-1帶入原函數(shù)可得到，f（-1）=4，又因為f（x）=2>0，所以函數(shù)的最小值為4。

為了說明兩種方式求最值的優(yōu)勢和劣勢，這個例子選舉的還比較簡單，如果利用更為復雜的函數(shù)來說，使用求導或者是導函數(shù)知識來求極大值和極小值的話，優(yōu)勢會更加明顯。我們不妨再舉一個例子，f（x）=sinx，x∈（0，2π），求f（x）的最大值和最小值，這個利用構造函數(shù)的辦法就比較困難。那么讓我們來用求導和導函數(shù)的知識來求最大值和最小值。f（x）=cosx=0，（0，2π）。求得x=π/2，x=3π/2，將x=π/2，x=3π/2，帶入f（x），求得原函數(shù)最大值為1，最小值為-1。由此可見，求導和導函數(shù)知識的方法更為簡便快捷，當然我們從正弦函數(shù)上出發(fā)也會驗證到我們的做法是正確的。

同樣，可以利用求導和導函數(shù)的知識來解決函數(shù)的單調區(qū)間問題，我們還是利用f（x）=x2+2x+5（在實數(shù)軸上連續(xù)）這個例子來說明，f（x）=x2+2x+5，f（x）=2x+2，f（x）=2>0，所以函數(shù)在-1，這一點為極小值點，又因為函數(shù)有且僅有這一個極值點，所以該函數(shù)的最小值是4。明確極小值點以后，我們就可以用單調函數(shù)的定義證明，函數(shù)在（-∞，-1）上單調遞減，函數(shù)在[1，∞），單調遞增。同樣我們也可以用這種方法確定正弦函數(shù)的單調區(qū)間。

三、求導和導函數(shù)應用的局限性

雖然說求導和導函數(shù)知識在解決高中函數(shù)問題，特別是就極大值和極小值或者是單調區(qū)間而言，優(yōu)勢相對于傳統(tǒng)方法來說比較明顯，但是并不是每一個題目都可以用求導或者是導函數(shù)知識去解決。求導和導函數(shù)知識并不萬能的，它自身也具有一定的局限性。對于一元函數(shù)來說，如果想對原函數(shù)求導，就必須保證原函數(shù)是連續(xù)的，不是連續(xù)的函數(shù)是無法對其求導數(shù)的。通過閱讀數(shù)學分析教材我們可以了解到，一元函數(shù)可微一定可導，一元函數(shù)可導一定連續(xù)，但是連續(xù)的一元函數(shù)不一定可導（可微）[2]。所以言簡意賅的講，若想要用求導和導函數(shù)解決高中數(shù)學中的函數(shù)問題，必須保證此函數(shù)可導。

四、結語

數(shù)學知識體系的邏輯性相當強，如何用好數(shù)學知識需要長時間的學習和實踐，并且注重積累。只有這樣才能夠完全的掌握數(shù)學知識體系的精髓，在運用數(shù)學知識解決問題的時候才能得心應手。

參考文獻：

[1]Α.Я.辛欽.數(shù)學分析八講[M].人民郵電出版社，2010.

[2]陳紀修.數(shù)學分析[M].高等教育出版社，2006.

（作者簡介：劉彥君，沈陽市第二中學，高中學歷，研究方向：數(shù)學。）