高中數學中的向量與復數探討

張譯云

摘要：本文探討了高中數學中向量與復數的學習，為相關知識點的掌握和題目的求解提供了有效的學習思路。首先介紹了兩者的基本概念，并剖析了其中的聯系和本質上的區別。接著結合例題，從不同角度解析了兩者的性質、運算法則等考點。最后總結了針對這兩個知識點的學習方法和思維提升的路徑。

關鍵詞：高中數學；向量；復數

一、概念剖析

1、向量。引入向量是為了區別于標量，標量只有大小不考慮方向，但向量既有大小也有方向。由于多了方向，向量的加減不再是簡單數量上的變化，還需要引入四邊形法則，而向量的乘法又分為數量積和向量積，并且沒有除法。這些運算法則奠定了學習向量的基礎。

2、復數。引入復數是對數的擴充，為了解決負數開根號的問題，引入虛數單位i，實數與虛數的組合便是復數。實數用實數軸上的點表示，而復數則由復平面上的點表示，所謂復平面是由相互垂直的實軸與虛軸所構成，它是理解復數的重要工具。

3、聯系與區別。向量和復數都可以在各自的坐標系中用二維坐標表示，兩者的加減運算形式上看幾乎一模一樣，部分復數問題還可以轉化為向量問題來解決，這既有助于聯想，但也可能導致混淆。向量與復數的本質是不同的，復數依然是數，只能代表一個點，而向量同時具有“代數”和“幾何”的特征，是可以移動的有向線段。

二、例題詳解

1、運算法則。向量與復數的加減運算相似，但乘除運算不同，需要在解題時嚴格區分。

（1）例：已知復數z滿足，試求復數z的值。解：這道題不難，卻容易因為沒學透復數的乘法而出錯。向量的乘法分數量積與向量積，高中階段常考數量積。對于向量來說總有，在實數域中也有，但對于復數來說，卻不一定有。這道題如果想當然地將兩邊做平方，得，再將替換為做進一步化簡，那就大錯特錯了。正確解法應當是假設（均為實數），再帶入題目所給等式中，得到，因此有，解方程得，即可得。

（2）例：已知復數z滿足，試求的最值。從這道題中也可以探究向量與復數在運算法則上的不同。對于向量來說，因此只有兩向量共線時才有，對于復數來說，卻總有，這個性質是求解這道題的關鍵。

這道題如果設（均為實數），此時有兩個變量，不便于求極值，因此考慮利用共軛復數消去一個變量。因為，所以有，那么；再根據，可知，因此當時，取到最大值為12。

2、幾何意義。借助坐標系中的幾何特性，向量的幾何意義既可以解向量題，也可以用于求解復數問題。

例：已知有復數，試求的最小值。

解：這道題有兩種思路，一是直接用復數的代數運算進行求解，二是將代數問題轉化為幾何問題。第一種方法求解過程如下：

第二種方法是通過向量和復數在加減運算中的相似性，用向量代替復數繼而求解。令向量和分別代替復數、，即可視作對向量進行長度上的縮放，而最小值可視作在方向上找一點，使之到B點距離最短。從幾何上看就是過B點向OA做垂線，垂線的長度即為的最小值。

3、與三角函數結合。

例：已知復數z的模為1，如果存在，使得，試求的值。

解：這道題同樣需要對復數z進行假設，由于，因此可用三角函數表示以縮減變量。設，帶入得，則有和，由第二式可得或，由此得到兩組解和，又因為，所以。

三、學習方法總結

1、區分表象與本質。在教材上向量與復數并不在一起，但形式上的相近之處很容易令人將兩者聯系起來。而部分同學容易犯的錯誤便是將兩者的運算法則搞混淆，為了避免這樣的錯誤，需要掌握兩者的本質，然后深入理解運算法則上的不同，方能正確解題。

2、借助題目檢驗概念。區分概念說到底是為了解題，但只研究概念是不夠的，要結合具體題目才能檢驗對概念的掌握。本文中所舉例題有一定的代表性，實際學習中還需要多多練習才能熟練掌握。

3、抽取維度理。在看清向量與復數的表象和本質之后，實際上可以從中抽取出維度的理念，向量兼有大小與方向兩個特征，復數則是二維數，二者維度相似，但具體參數不同。若能從一個更高的層次來看待這兩者，將有助于整體數學思維的提升。

四、結語

向量與復數的問題，在高中數學考試中屬于中等難度。對于這種較為基礎的題型，掌握概念就掌握了大部分解題方法，結合具體題目的訓練，便可較為熟練地解題。本文將向量與復數結合探討，區分兩者的概念，解析典型的考點，并從中提煉出維度的理念，可作為學習的有效參考。

參考文獻

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