高中數(shù)學(xué)解題技巧之“數(shù)”“形”結(jié)合策略

摘要：在高中階段的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)既是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。與其他科目的題目相比，數(shù)學(xué)題目的抽象性更大，在解題中難度較大。在解析幾何的學(xué)習(xí)方面，很多同學(xué)都不能從枯燥的題目描述中探尋出解題的正確思路，以至于解題較慢、正確率較低。數(shù)形結(jié)合策略是一種高中數(shù)學(xué)的解題技巧，在解題中對(duì)其進(jìn)行有效的運(yùn)用，必能提升解題效率。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 解題技巧 數(shù)形結(jié)合

長(zhǎng)期以來(lái)，高中數(shù)學(xué)都是家長(zhǎng)、教師以及學(xué)生關(guān)注的學(xué)科之一，而高中也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要階段。高中數(shù)學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)十分復(fù)雜，在學(xué)習(xí)中難免會(huì)遇到難以理解的現(xiàn)象，尤其是解析幾何內(nèi)容十分抽象，理解起來(lái)難度大，在做題中突破點(diǎn)很難在第一時(shí)間找到[1]。這就需要我們掌握一定的解題技巧，其中數(shù)形結(jié)合策略是處理解析幾何題目的重要方式，它能夠降低解題難度，提高解題準(zhǔn)確性。

一、數(shù)形結(jié)合解題理論

（一）數(shù)形結(jié)合解題方法釋義

一方面，解析幾何屬于數(shù)學(xué)幾何學(xué)中一個(gè)小分支，是通過(guò)代數(shù)方式對(duì)幾何對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系進(jìn)行研究，所以也有人將解析幾何稱(chēng)作為坐標(biāo)幾何。解析幾何包括了平面幾何與立體幾何兩個(gè)部分，平面幾何屬于二維空間解析幾何；立體解析幾何則屬于三維空間解析幾何，其相對(duì)來(lái)說(shuō)比平面解析幾何更加復(fù)雜，抽象性也更強(qiáng)。

另一方面，數(shù)形結(jié)合指的是對(duì)已知條件中的數(shù)、形逐個(gè)對(duì)應(yīng)，然后通過(guò)直觀明了的幾何圖形、已知條件關(guān)系圖等，將抽象、繁雜、枯燥的數(shù)學(xué)語(yǔ)言通過(guò)圖形描述出來(lái)，同時(shí)把圖形的形象性思維與抽象的題目進(jìn)行結(jié)合，利用數(shù)字解析圖形，利用圖形幫助數(shù)字解析，實(shí)現(xiàn)將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)闇\顯易懂的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題具體處理，達(dá)到解題途徑優(yōu)化的效果。

（二）數(shù)形結(jié)合解題思路

我們?cè)谟龅浇馕鰩缀晤}目時(shí)，審題后必須找出題目中蘊(yùn)含的條件，同時(shí)對(duì)條件和問(wèn)題之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行詳細(xì)探查，將數(shù)形逐一的對(duì)應(yīng)，并找出解題的思路。在實(shí)際解題過(guò)程中，如果能夠?qū)?shù)形結(jié)合方式進(jìn)行熟練掌握，做到舉一反三，則在遇到解析幾何題目時(shí)就能夠順理成章的解決。

當(dāng)然，為了熟練掌握這一思路，必須弄清以下幾個(gè)方面的內(nèi)容：第一，明確函數(shù)及圖像之間的關(guān)系；第二，利用三角函數(shù)、復(fù)數(shù)等條件建立起相關(guān)幾何圖像；第三，分析題目中的代數(shù)方程式、等式等表述出來(lái)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；第四，理清實(shí)數(shù)和數(shù)軸中的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；第五，理清曲線和方程之間的關(guān)系。

二、在高中數(shù)學(xué)幾何題解析中數(shù)形結(jié)合運(yùn)用分析

（一）對(duì)幾何中圓類(lèi)問(wèn)題的解析

圓類(lèi)問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)解析幾何中所占比例較大，也是解析幾何類(lèi)題目中難度較大的一種，引入數(shù)形結(jié)合的方式，能夠幫助我們將圓類(lèi)問(wèn)題迅速解答。通常情況下，幾何圓類(lèi)問(wèn)題包含了圓和直線之間的關(guān)系、圓和圓之間的位置關(guān)系，當(dāng)然還包括了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[2]。對(duì)于這幾類(lèi)題目進(jìn)行解答，一般是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，將題目中的相關(guān)數(shù)量關(guān)系在坐標(biāo)圖中表述出來(lái)，能夠直觀的看到圖形位置關(guān)系，以便于迅速的找出解題思路。

我們?cè)诰唧w解題中，必須根據(jù)題目中給出的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，這些數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括數(shù)學(xué)符號(hào)、公式、概念、等式等，詳細(xì)分析這些數(shù)學(xué)語(yǔ)言，并將其有效的轉(zhuǎn)化成幾何圖像，同時(shí)將已知的條件在圖像中進(jìn)行標(biāo)注，這就更加直觀的看到條件與條件之間、條件與問(wèn)題之間的關(guān)系，以圖像的特征探尋未知的數(shù)量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)解答數(shù)學(xué)題目的目的。這種方式不僅能夠有效的提升解題效率，正確性也能夠大大提升[3]。當(dāng)然，我們必須將詳細(xì)、確切的解題步驟書(shū)寫(xiě)出來(lái)，方能夠得分，為了保證能夠順利解答，則必須掌握以數(shù)解形，還需要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)將圖形圖像中的數(shù)量關(guān)系表達(dá)出來(lái)，同時(shí)用幾何圖形加以分析。

例如，已知圓C過(guò)點(diǎn)P（1，1），且與圓M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r>0）關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱(chēng)。過(guò)點(diǎn)P作兩條直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：由于圓C過(guò)點(diǎn)P（1，1），且與圓心為M（-2，-2）關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱(chēng).故C（0，0）（M關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)）。同時(shí)，建立直線坐標(biāo)，過(guò)P作PQ垂直于x軸，交圓于（1，-1），設(shè)pc與圓交與R（-1，-1），則弧RQ=弧QP。又由題傾斜角互補(bǔ)，所以角APQ=角BPQ，故弧AQ=弧BQ，由以上兩個(gè)等式相減得到弧RA=弧PB，即對(duì)應(yīng)的圓周角RPA=PAB，即兩直線平行。

再如，在圓的方程求解過(guò)程中。已知圓C過(guò)點(diǎn)P（1，1），且與圓M（x+2）2+（y+2）2=r2 （r>0）關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱(chēng)，求圓c的方程。

分析：該題也可以用數(shù)形結(jié)合的方式求解，充分利用圖像的對(duì)稱(chēng)性。

解：P點(diǎn)關(guān)于x+y+2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為：（-1，-3），由題意可知這個(gè)點(diǎn)在圓M上，代入方程求出r2=1+1=2，也就是說(shuō)圓C的半徑r2=2，M點(diǎn)（-2，-2）關(guān)于x+y+2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為原點(diǎn)，也是C點(diǎn)

所以圓C的方程為：x2+y2=2。

（二）在高中數(shù)學(xué)幾何不等式問(wèn)題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合策略

幾何不等式問(wèn)題屬于我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的常見(jiàn)題型，為了能有效的化解問(wèn)題中的不等式，我們通常將不等式問(wèn)題進(jìn)行相關(guān)的化解，將其轉(zhuǎn)化為曲線方程，之后通過(guò)直角坐標(biāo)系，將曲線方程在直角坐標(biāo)系中描繪出來(lái)，對(duì)圖像進(jìn)行詳細(xì)的觀察，并對(duì)圖形中的相關(guān)交集進(jìn)行計(jì)算，得出不等式解集。對(duì)幾何不等式問(wèn)題的解答，我們必須學(xué)會(huì)怎樣進(jìn)行不等式簡(jiǎn)化，而實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化不等式，需要認(rèn)真利用不等式化簡(jiǎn)公式，避免在化簡(jiǎn)過(guò)程中發(fā)生錯(cuò)誤，之后就可以得到曲線方程，以便于在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出正確的曲線圖像，最終得到答案[4]。

此類(lèi)問(wèn)題往往會(huì)在求解過(guò)程中遇到困難，如何學(xué)習(xí)正確的掌握屬性轉(zhuǎn)化思想，不僅需要依靠老師在課程中的講授，更需要從眾多的練習(xí)題中，提煉出在問(wèn)題中的相關(guān)條件，同時(shí)將已知條件用圖形的形式表達(dá)出來(lái)，簡(jiǎn)化解答幾何題目的難度，在做題中更加得心應(yīng)手。

例如：設(shè)二次函數(shù)f（x）=（m+1） x2-mx+m-1，若不等式f（x）小于0，解集為空，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

若不等式f（x）小于0，解集為空

則f（x）≥0恒成立，得：（m+1）x2-mx+m-1≥0 恒成立

即：f（x）的最小值≥0，也就是該函數(shù)圖象都在x軸的上方，且函數(shù)的開(kāi)口向上。根據(jù)圖形的特點(diǎn)，就能夠得出以下不等式：

三、結(jié)語(yǔ)

通過(guò)上述分析可知，數(shù)形結(jié)合是一種有效的數(shù)學(xué)思想，在高中數(shù)學(xué)解題中時(shí)常用到。作為一名高中生，如何把握運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的時(shí)機(jī)，怎樣才能真正的用好這一思想方法，這些都是必須要思考的問(wèn)題。具體來(lái)說(shuō)，必須要勤加練習(xí)，同時(shí)詳細(xì)的思考，分析問(wèn)題，正確的看待數(shù)學(xué)問(wèn)題，把握使用各種數(shù)學(xué)思想的時(shí)機(jī)，才能方得始終。

參考文獻(xiàn)：

[1]呂思祥.高中數(shù)學(xué)解題技巧之?dāng)?shù)形結(jié)合策略[J].數(shù)學(xué)大世界旬刊，2016，（08）：57-59.

[2]郭佳慧.數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略分析[J].贏未來(lái)，2016，（02）：99-102.

[3]李慶榮.高中數(shù)學(xué)幾何解題技巧之?dāng)?shù)形結(jié)合策略的分析[J].速度旬刊.2016，（01）：302-303.

[4]王東江.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的技巧性與訓(xùn)練策略[J].數(shù)理化解題研究.2017，（08）：61-63.

（作者簡(jiǎn)介：王一冉，石家莊市第二中學(xué)，高中學(xué)歷，研究方向，數(shù)學(xué)方向。）