基于波利亞解題模型在高中數學解題教學中的應用分析

錢雨森

【摘 要】波利亞的解題模型是在世界上流傳較廣且影響深刻的解題模型，在數學中尤其是高中數學中被廣泛運用。本文通過介紹波利亞模型的主要內容，以及對具體數學題型的運用來闡述該模型在高中數學解題中的作用，以幫助學生提高解題效率，教師完善教學工作。

【關鍵詞】波利亞解題模型；高中數學；應用分析

1.何為波利亞解題模型

在近代，產生了許多解題模式，主要有早期桑代克所提倡的“試誤說”，到美國著名教育家杜威提出的階段解決模型，最后是心理學家皮亞杰的認知心理模型。雖然這些研究對于教師認識學生的認知問題有重要意義，但數學問題相較于其它學科有自己獨特的學科特點，還應當具體問題具體分析，上述解決模式并不一定能夠完全適用于數學解題過程中。因此隨著科學分類研究的日益細化，也產生了許多學科數學的相關研究包括數學解題模型在內，其中影響最為深遠的當屬波利亞解題模型。

波利亞解題模型是波利亞的經典書目《怎樣解題》中的重要理論，他將該模型分為四個部分：第一，看到數學題目時應先理清題目思路，看清題目的已知、未知還有所求問題；第二，分析題目的各個要素包括已知、未知、問題之間的相互聯系，找到解題的方向所在，形成基本的解題策略；第三，將解題策略具體運用于數學題目中；第四，對整個解題過程包括理解題目、思路的形成、計劃的執行檢驗評價。

2.波利亞解題模型在高中數學解題中的具體運用

波利亞的解題模型的重要思想除了包括上述的四個部分，還包括更加細致的四個模型，分別是雙軌跡模式、笛卡爾模式、遞歸模式、疊加模式。這四種解題模式被更多的運用于數學實際解題過程中。

（1）雙軌跡模式

雙軌跡模式要運用兩條軌跡來解題，類似于換位思考的思想。譬如我們確定三角形ABC，已知為邊a、點B、點C，未知為點A，問怎么確定點A。換種方式理解我們發現，點A即是以點B為圓心、以邊c為半徑的圓和以點C為圓心、以邊b為半徑的圓的交點。這里就把問題歸結為一個點，再把已知的條件轉換成兩個部分，每一個部分都可以看成是點的軌跡，結論即在兩條軌跡的交點處。

（2）笛卡爾模式

笛卡爾在數學的解析幾何方面做出了重要貢獻，在解決數學問題的過程中也形成了獨特的數學思想。他認為，所有的數學問題都可以轉換成代數問題進行解決，而所有的代數問題又可以轉換成解方程的思想。波利亞利用了這一思想，但又加以具體化，具體運用通過具體的高中數學題目來加以闡釋。

例.已知三次函數f（x）=ax^3+bx^2+cx在x處有極大值4，它的導函數的圖像過點（2，0），（4，0），并且導函數的圖像有最小值，求a、b、c的值。

該題目應先求出極大值x的值，通過導函數的性質我們很容易就能分析出f（x）的極大值x為1，接下來就可以運用笛卡爾解方程的思想來進行求解a、b、c。已知一：f（x）在（1，5）處取得極大值，可列出方程a+b+c=4；已知二：f（x）的導函數3ax^2+2bx+c經過點（2，0），（4，0），可列出兩個方程12a+4b+c=0，48a+8b+c=0，聯立三個方程，可分別求出a、b、c的值。

（3）遞歸模式

在解決數學問題中，遞歸模式概括的說就是運用有限的已知條件來獲得更多的已知，該模式多用于解決高中數學中的數列問題，學生可以利用此模式迅速的找到解題方法。

例.已知S=1+4+9+16+25+36+……n^2，求s的值。

我們可以從已知得出這樣一個等式（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1，可列出（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1，然后再將實際數值代入式子中，就可以得到2^3-1^3=3*1^2+3*1+1和3^3-2^3=3*2^2+3*2+1，4^3-3^3=3*2^2+3*3+1……這樣我們就可以歸納出這樣的規律：（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1，此時將兩邊相加就可得到（n+1）^3-1=3S2+3s1+n，求出S1的代數式，再帶入最初列的等式，即可得出S的結果。

（4）疊加模式

在高中數學中，有許多題目的條件很多，這就會使學生錯誤的認為該題目難度較大，不好駕馭，但經過仔細分析發現，許多同學只是被絆倒在分析題干上，這個時候就需要我們耐心的對題目的多個已知進行疊加，找出它們的聯系，直到最后找到解題思路。

例.求解方程組

x^2+xy+xz-x=1

y^2+xy+yz-y=2

Z^2+xz+yz-z=3

初看這個題目，已知條件太多，但運用到疊加方法就能迅速化難為易。具體的解題思路為：將三個方程的兩邊分別相加，可得到（x+y+z）^2-（x+y+z）-6=0，經過簡化可得到一個等式x+y+z=-2，將這個等式分別代入以上三個方程組中，可分別得出x、y、z的值。

3.結語

新課改的推行使得教師在教學過程中必須要注重提高學生的綜合素質，在解題過程中我們不再強調單純的會挪用知識，更重要的是如何將所學知識具體運用到實際的問題中，提高學生的實踐能力、創新能力、分析能力。這里就更加強化了解題思想的重要性。而波利亞模型作為重要的數學思想無疑要發揮其重要作用。通過上述分析，我們了解了波利亞模型的基本內涵、波利亞模型的四個具體模式，并結合具體的高中數學題目具體分析，可得出結論，運用波利亞模型來解決數學問題可以使問題簡單化，迅速找到解題思路。對于學生來說，運用波利亞模型解決數學問題可以幫助其具體分析問題癥結所在，提高其分析問題的能力，久而久之，解決問題就不再是問題，而只需要簡單的轉化即可；對教師來說，運用波利亞模型于教學中，可以提高學生的綜合素質，深化新課改的改革理念。

【參考文獻】

[1]黃秋妹.關于波利亞的數學啟發思想[J].廣西師范學院學報（自然科學版），2004（S1）

[2]楊麗霞.波利亞與“怎樣解題”[J].中國校外教育，2014（05）endprint