例談高考中常見的橢圓題型

王文忠??

摘 要：解析幾何在江蘇數學高考中占21分左右，解答題常常以直線與橢圓的問題出現。直線與橢圓題型多樣、綜合性強、解題方法靈活、運算量大，能夠較好地考查學生掌握基礎知識的程度，也能夠考查出學生對數學思想方法、運算能力，要求學生具備較扎實基礎知識及較強綜合能力。本文將重點分析下直線與橢圓中常見題型，使學生更好地掌握解析幾何中常見的題型。

關鍵詞：橢圓；高考；常見題型

圓錐曲線是高中解析幾何的核心內容及研究對象，代數方法解決幾何問題是解析幾何最基本的思想，學生通過圓錐曲線的學習，培養數形結合思想及解決實際問題和運算的能力，養成良好的解題心態。圓錐曲線的考查在歷年高考中常以橢圓為主，橢圓的考查常常涉及橢圓的標準方程和性質，而直線與橢圓的位置關系似乎是必考內容，因為直線與橢圓的關系能夠考查學生的基礎知識、解題技巧、運算能力，橢圓知識的考查大致上能分為以下幾種情況。

一、 橢圓幾何性質的應用

高中數學中橢圓的性質主要包括：范圍、對稱性、頂點、焦點、離心率、準線、共同性質等，考查橢圓基本性質就是各個知識點間聯系，尤其是基本量a，b，c，e之間的關系，這類題一般屬于容易題，主要是構造基本量之間的等量關系或不等關系。

例1 （2017·浙江卷）橢圓 x29+y24=1的離心率是（ ）

A. 133

B. 53

C. 23

D. 59

二、 求曲線方程或軌跡問題

求曲線方程或軌跡方程是解析幾何中數學的重點和難點，求曲線方程通常先確定曲線的類型（定型）是圓、橢圓、雙曲線還是拋物線，再確定曲線的位置（定位）——圓錐曲線的焦點在哪個軸上或拋物線的開口方向性，再確定基本量的取值（定量），最后寫出曲線的方程。求軌跡方程則需要挖掘已知條件，將動點滿足的規律（一般是等量關系）找出來，并將規律用動點的坐標表示成等式再化簡整理即可。

橢圓解答題中出現頻率最高的是求橢圓方程，而且常常放在大題第一小題，常常根據曲線具有性質來求解曲線方程，或者是根據已知條件找出平面內動點運動規律或滿足的條件求軌跡方程。求軌跡方程主要還有以下幾種題目類型：兩曲線交點、弦中點、焦點弦、切線等為條件求軌跡方程。

例2 （2017·山東卷）在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，焦距為2。

（1）求橢圓E的方程。

例3 （2015·廣東卷）已知過原點的動直線l與圓C：x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A，B.（1）求圓C1的圓心坐標；（2）求線段AB的中點M的軌跡C的方程。

例4 （2017·新課標Ⅱ卷）設O為坐標原點，動點M在橢圓C：x22+y2=1上，過M做x軸的垂線，垂足為N，點P滿足NP=2NM，（1）求點P的軌跡方程。

三、 有關定值與定點問題

定值與定點問題主要是從橢圓的一些性質得出的，常涉及直線與橢圓、兩直線、點與橢圓的位置等關系。根據社會對人才的需要，高考越來越重視考查考生的綜合能力，而橢圓的定點、定值問題能有效地考查考生的綜合能力，因為這類試題解法多樣、注重整體的解題思路、需要良好的解決問題的心態等特點。結合近幾年高考試題，定點或定值問題常以以下四種形式呈現：有關角或直線的斜率是定值、多個量的運算結果是定值、曲線過定點或點在曲線上、直線過某定點或點在某定直線上。

例5 （2017·新課標Ⅰ卷）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3-1，32，P41，32中恰有三點在橢圓C上。

（1）求C的方程；（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點。

在歷年各地的高考數學試卷中，橢圓題目分值一直保持穩定，題型多樣，方法靈活，綜合性強，一般作為把關題或壓軸題。第一小題常常考查橢圓的基本性質或求方程，屬于容易題，而第二小題則時常考查最值或定點定值問題，一般與函數、不等式、向量、三角函數等相結合，呈現出考查方法靈活多樣，運算量大，靈活考查考生對基礎知識的掌握程度，考生靈活運用數學思想和方法綜合解決問題的能力，所以常為命題者所青睞，故而在平時的教學和訓練中多多體會橢圓題中的數形結合，以代數方法來解決幾何問題，通過解橢圓題來提升自身的運算能力和規范的解題習慣。

參考文獻：

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作者簡介：

王文忠，江蘇省泰州市，泰州市第三高級中學。endprint