一道關于求弦長習題的思考

摘 要：弦長問題是高中數學教學的重點內容，如何引導學生用正確的方法求直線與曲線相交的弦長，方法不唯一，但是每種方法適用的條件把握不清，往往是學生走入解題誤區的重要原因之一。本文就一道關于直線參數方程與圓的弦長習題解答過程進行分析。

關鍵詞：弦長；參數方程；條件

直線與曲線（圓、圓錐曲線等）相交于兩點，則兩點之間的距離稱為弦長。在高中教學中，弦長問題是重點，也是高考的熱點之一，但求弦長的方法根據已知條件的不同而選擇不同。如何把握條件、發展條件和分析條件是解決這類問題的關鍵，現以教學中一道關于直線參數方程與圓的弦長習題解答，用兩種方法進行求解，但是答案卻出現兩個。

問題：已知直線x=2-12t

y=-1+12t（t為參數）與圓x2+y2=4相交于A、B兩點，求弦AB的長。

分析：該問題是一個常規的問題，難度不是很大，而解答的方法很多，下面分別用兩種方法進行求解。

解法一：把x=2-12t

y=-1+12t代入x2+y2=4得

（2-12t）2+（-1+12t）2=4

整理得t2-6t2+2=0 （1）

設方程（1）的兩根為t1、t2，得

t1+t2=--61=6，t1t2=21=2

所以|AB|=|t1-t2|=27

所以弦AB的長為27。

解法二：如圖，直線x=2-12t

y=-1+12t化為普通方程得x+y-1=0，與圓x2+y2=4相交于A、B兩點，圓x2+y2=4圓心坐標為（0，0），半徑r=2，過圓心O（0，0）作直線OP⊥AB于P點，連接AO，則

OP=|0×1+0×1-1|12+12=22

所以在Rt△OAP中，由勾股定理得

AP=72=142

由垂徑定理得AB=2AP

所以弦AB的長為14。

以上兩種解法得到不同的答案，從思路上看，兩種解法幾乎沒問題，那么哪一種解法是正確的呢，解法二屬于常規解法，答案是肯定正確的，解法一的思路是應用人教版選修44第二講第三節“直線的參數方程”。探究（1）的結論，是哪一步出現了錯誤導致結果錯誤呢？下面具體對直線參數方程與曲線參數方程求弦長問題進行分析。

已知直線l的傾斜角為α，過定點（x0，y0），則直線的參數方程為x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（α為參數），直線l與曲線f（x，y）=0相交于M1，M2兩點，對應的參數分別為t1，t2，則曲線的弦M1M2的長是多少？

分析：根據上述問題的已知條件，可設M1，M2兩點的坐標分別為（x0+t1cosα，y0+t1sinα）、（x0+t2cosα，y0+t2sinα），則根據兩點間的距離公式可得

M1M2=（x0+t1cosα）-（x0+t2cosα）2+（y0+t1sinα）-（y0+t2sinα）2

=cos2α（t1-t2）2+sin2α（t1-t2）2

=（t1-t2）2（cos2α+sin2α）

因為cos2α+sin2α=1，（t1-t2）2=|t1-t2|

所以M1M2=|t1-t2|

現在再觀察解法一的過程不難看出，錯誤點在默認為只要是直線x=x0+at

y=y0+bt（t為參數）與曲線f（x，y）=0相交于M1，M2兩點，對應的參數分別為t1，t2，則曲線的弦M1M2=|t1-t2|，這種觀點顯然是錯誤的，因為仿照分析的推導過程容易得M1M2=（t1-t2）2（a2+b2）=|t1-t2|a2+b2。

在已知習題中，a=-12，b=12，|t1-t2|由解法一得27，所以AB=27×-122+122=27×22=14。

根據上述的分析過程，對直線x=x0+at

y=y0+bt（t為參數）與曲線f（x，y）=0相交于M1，M2兩點，對應的參數分別為t1，t2，則曲線的弦M1M2=（t1-t2）2（a2+b2）=|t1-t2|a2+b2，經過驗證該結論是正確的，因此解法一的錯誤之處即是默認為a2+b2=1，而實際a2+b2=-122+122=12≠1。

以上是就一個習題的錯誤解法進行分析，在解決數學問題時，首先要把握好條件，在方法的選擇上嚴格把握滿足條件的方法，不能只從形式上定方法，習題中的解法一就是因為只從形式上定方法從而導致錯誤。數學問題的解決，主要由已知條件入手，由已知條件確定方法，這樣就會減少結果錯誤的幾率，由此，在數學教學中，重要的不是給學生講解多少習題，而是幫助學生如何分析條件和發展條件，確定解決問題的方法，從而達到做一個題會一類題的效果。

作者簡介：

李加發，貴州省黔西南布依族苗族自治州，貴州省安龍縣第四中學。endprint