對高中數學 “問題鏈”設計的幾點認識

王宗艷

[摘 要]運用案例法，從“由淺及深，避免膚淺提問”“聚焦鏈接，避免問題離散”“圍繞重難點，避免遠離關鍵”三個方面探討“問題鏈”的設計，以激活學生思維，培養學生探究能力，讓數學教學更有效.

[關鍵詞]問題鏈；高中數學；由淺及深；聚集鏈接；圍繞重難點

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）32-0023-02

“問題是數學的心臟”，在數學教學中，問題常常以“問題鏈”的形式呈現.“問題鏈”是指以構建數學問題為主線，把講授內容設計成若干個教學問題或將一個綜合性大問題分割成若干個小問題，形成以邏輯鏈條為特征的問題組合.“問題鏈”的設計對一堂課的質量起到了關鍵性的作用.有效的“問題鏈”能活躍課堂氣氛，激活學生思維，培養學生的探究能力.那么，高中數學“問題鏈”該如何設計呢？

一、由淺及深，避免膚淺提問

一個有效的課堂提問導入，不僅能起到承上啟下的作用，而且可以把學生帶入問題情境，讓他們帶著問題學習新知識.對于問題的設計，教師應注重“雙主體原則”，即要考慮學生的現有知識水平，不可以超綱，但也不要太過于簡單，以致缺乏層次性，達不到啟發學生思維的效果.可見，數學“問題鏈”的設計，也應具有分層教學的特征，從簡單出發，向思維的深度進軍！

【案例1】 在《對數函數的圖像和性質》教學中，教師設計問題鏈如下：

問題1：試作出y=log2 x和y=[log12x]的圖像.（提示： 它們的圖像如右圖所示.）

問題2：兩圖像與x軸交點坐標是什么？[提示：交點坐標為（1，0）.]

問題3：兩函數的單調性如何？（提示：y=log2 x是增函數，y=[log12x]是減函數.）

問題4：函數y=2x與y=log2 x的圖像有什么關系？它們的定義域、值域有什么關系？（提示：圖像關于直線y=x對稱，定義域和值域互換.）

問題5：請從多個角度總結對數函數y=loga x（a>0且a≠1）與指數函數y = ax之間的關系，允許互相探討.（提示：（1）對數函數y=loga x（a>0且a≠1）和指數函數y = ax互為反函數.（2）底數a與1的大小關系決定了對數函數圖像的“升降”：當a>1時，對數函數的圖像“上升”；當01還是0

上述五個問題由簡單到復雜，由特殊到一般，由形象到抽象，層層遞進，能讓學生在不知不覺中從已學的知識轉向未學的新知，尤其是問題5，屬于發散性問題，既是本節課的重點，又能將學生的思維推向高潮，實現了思維的飛躍，達到了“隨風潛入夜，潤物細無聲”的教學效果.

二、聚焦鏈接，避免問題離散

數學是一門邏輯性極強的學科.“問題鏈”中的問題，一旦設計得松散，缺乏鏈接，邏輯性不強，往往達不到數學教學核心目標.作為數學教師，既要強調數學知識記憶，更要凸現思維訓練，體現數學思維的邏輯性和遞增性.因此，“問題鏈”的設計一定要符合學生的認知水平和規律，層層相扣，由淺及深、由易到難，處處呈現問題間連接與遞進的邏輯關系.

【案例2】 教師甲和教師乙上的同課異構課，教學內容是選修2-3《排列》，在課上兩位教師分別設計了有關排列解法的“問題鏈”.

教師甲設計的“問題鏈”：已知有6人按下列要求站成一橫排.

問題1：6人隨意排，問有多少種排法？

問題2 ：其中甲、乙相鄰，問有多少種排法？

問題3：其中甲、乙不相鄰，問有多少種排法？

問題4 ：其中甲、乙相鄰，但甲、乙都不與丙相鄰，問有多少種排法？

問題5 ：甲與乙之間只站2人，問有多少種排法？

問題6：甲、乙、丙3人按從左到右的順序排（可以不相鄰），問有多少種排法？

教師乙設計的“問題鏈”：

1.二次函數y = ax2+bx+c的系數a，b，c互不相等，它們都在集合{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3}中取值.

問題（1）：開口向上的拋物線有多少條？

問題（2）：過原點的拋物線有多少條？

問題（3）：原點在拋物線內的拋物線有多少條？

2.從1到9這9個數字中取出5個進行排列.

問題（1）： 奇數位置上是奇數的有多少個？

問題（2）：取出的奇數必須排在奇數位置上的有多少個？

由上不難看出，教師甲的設計優于教師乙的設計.一是教師甲是對同一個問題進行討論，環環相扣；而教師乙設計了兩個問題，給人以零散的感覺；二是教師甲設計的6個問題有層次感，可引導學生思維逐漸攀升，且涵蓋了排列問題的幾乎所有解法，可謂“一題打遍天下”；而教師乙設計的問題都是在同一層次上的反復，體現不出解法的普遍性和多樣性.因此，教師在設計“問題鏈”時，應遵循承上啟下、環環相扣、一線相連等規律，切不可“天女散花”，星星點點，毫無頭緒.

三、圍繞重難點，避免遠離關鍵

在數學教學中，“問題鏈”如果指向不到位，遠離關鍵問題，會直接影響學生對學習難點的突破.因此，教師在設計“問題鏈”時要圍繞重難點知識，體現問題的核心.

【案例3】 《基本不等式》的教學重點是基本不等式的靈活應用.為此，筆者圍繞此重點設計了如下利用基本不等式求最值的“問題鏈”.

問題1：已知[a>0]，[b>0]，[a+b=1]，則[1a] + [1b]的最小值為________.

問題2 ：已知[a>0]，[b>0]，[1a] + [1b]=4，則a+b的最小值為________.

問題3：已知[a>0]，[b>0]，a+2b=3，則 [2a]+ [1b]的最小值為________.

問題4：設a>0，b>1，若a+b=2，則[2a] + [1b-1]的最小值為________.

問題5： 已知第一象限的點（a，b）在直線2x+3y-1=0上，則代數式[2a] + [3b]的最小值為________.

問題6：設x，y滿足約束條件[3x-y-6≤0，x-y+2≥0，x≥0，y≥0.]若目標函數z=ax+by（[a>]0，[b>]0）的最大值為12，則[2a] + [3b]的最小值為________.

問題7：設二次函數f （x）=ax2 - 4x + c（x∈R）的值域為[0，+∞），則[1c+1] + [9a+9]的最大值為________.

上述7個問題從單一的知識應用開始，不斷遞進式地改變問題的條件，不斷擴大知識的應用范圍，最終走向綜合問題的解決.這種類似變式問題的“問題鏈”，始終緊緊圍繞“基本不等式的應用”這個中心，讓學生感悟到利用基本不等式求最值的方法及注意點：（1）知和求積的最值：求解此類問題的關鍵為明確“和為定值，積有最大值”.但應注意以下兩點：①具備條件“正數”；②驗證等號成立.（2）知積求和的最值：明確“積為定值，和有最小值”，直接應用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的條件.（3）構造不等式求最值：在求解含有兩個變量的代數式的最值問題時，通常采用“變量替換”或“常數1”替換的方法，構造不等式求解.（4）利用基本不等式求最值時應注意：①非零的各數（或式）均為正；②和或積為定值；③等號能否成立，即“一正、二定、三相等”，這三個條件缺一不可.

總之，好的問題，需要教師去發現，更需要教師去精心設計.這就要求教師深刻領會教材，立足新課標，準確把握教學大綱和教學目標，熟知學生的現有認知水平.只有這樣，設計出的“問題鏈”，才具有針對性、啟發性和層次性，才能明確指向教學重點，從而避免教學的盲目性和隨意性，讓數學教學更有效.

（責任編輯 黃春香）