三星級高中學生數學的轉化策略

馮中芹

[摘 要]“三星級”高中學生基礎薄弱，理解能力較差.研究“三星級”高中學生對數學學習為什么會產生困難？是一項較為重要的研究課題.

[關鍵詞]三星級高中；數學教學；策略

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）32-0009-02

本文從分析學困生的成因出發，結合自己的教學經驗.從幫助學生創建數學“語法結構”、構建數學“解題大綱”、構建數學“解題套路”三點出發，結合例題具體分析.

一、幫助學生創建數學“語法結構”

大家都知道，解題從審題開始，審題也是解決問題的關鍵.然而在日常數學教學中，我發現很多學生在做題時看不懂題目的意思，不能理解題意.特別是對于條件非常多的題目，學生會感覺頭腦一片空白.過后我問他們，他們都會說：“題目太難”“ 根本看不懂”.但是經過我的點撥 ，他們又會覺得比較容易.其根本原因并不是問題難，而是學生的審題能力比較差.

審題，就是在對問題進行感知的基礎上，通過對問題的數學特征進行分析，從而對所要解決的問題在頭腦中有一個清晰反映的思維活動.那么在數學教學中怎樣幫助學生準確審題呢？應該注意分析學生產生審題障礙的原因，尋找對策，培養學生的審題能力.創建數學“語法結構”就是一個很好的方法.所謂“語法結構”就是將一類題目中的條件抽象成數學語言公式，當學生看到題干中的條件就能想到抽象的數學語言公式.

[例1]如圖1，在平面直角坐標系[xOy]中，已知圓[C：x2+y2-4x=0]及點[A（-1，0）]，[B（1，2）].

（1）若直線[l]平行于[AB]，與圓[C]相交于[M]、[N]兩點，[MN=AB]，求直線[l]的方程；

（2）在圓[C]上是否存在點[P]，使得[PA2+PB2=12]？若存在，求點[P]的個數；若不存在，說明理由.

分析：本題第二問是雙軌跡問題，有一個軌跡是隱藏起來的，所以此類問題許多學生不理解題意.因此，教師在教學過程中，可以幫學生構建 “語法結構”.即抽象成數學語言公式，條件“在圓[C]上是否存在點[P]”可以抽象成曲線[E]；條件“使得[PA2+PB2=12]”可以抽象成曲線[C]；問題“求點[P]的個數” 可以抽象成曲線[E]與曲線[C]的交點個數.

解：（1） 圓[C]的標準方程為[（x-2）2+y2=4]，所以圓心[C（2，0）]，半徑為[2].

因為[l // AB]，[A（-1，0）]，[B（1，2）]，所以直線[l]的斜率為[2-01-（-1）=1]，

設直線[l]的方程為[x-y+m=0]，

則圓心[C]到直線[l]的距離為[d=2-0+m2=2+m2].因為[MN=AB=22+22=22]，而[CM2=d2+MN22]，所以[4=（2+m）22+2]，解得[m=0]或[m=-4].

故直線[l]的方程為[x-y=0]或[x-y-4=0].

（2）假設圓[C]上存在點[P]，設[P（x，y）]，則[（x-2）2+y2=4]，[PA2+PB2=（x+1）2+（y-0）2+（x-1）2][+（y-2）2=12]，即[x2+y2-2y-3=0]，即[x2+（y-1）2=4]， 因為[2-2<（2-0）2+（0-1）2<2+2]，

所以圓[（x-2）2+y2=4]與圓[x2+（y-1）2=4]相交，故點[P]的個數為[2].

點評：通過幫助學生構建 “語法結構”，即抽象成數學語言公式，學生很快能理解題意，將題目問題轉化為求圓[C]：[（x-2）2+y2=4]與圓[x2+y2-2y-3=0]的交點個數.

二、幫助學生構建數學“解題大綱”

所謂構建數學“解題大綱”，即構建思維導圖.思維導圖作為一種輔助記憶和思維的工具，教師如能在教學中有效應用，將有利于指導學生掌握更科學有效的知識建構方法，幫助學生建構起科學的知識體系，從而逐漸提高學生學習的自主性和課堂教學的效率.教師應讓學生學會解題，將復雜問題程序化，使學生在探索過程中不易邏輯錯位，易掌握學習要點和學習目的，讓學生保持思路清晰、思維縝密.

比如，在函數綜合題中，第一問一般是求單調區間極值、最值等問題，這一類問題比較簡單，基礎比較薄弱的學生也是能認真完成的.但是在教學過程中，學生往往只會求導數，之后令導數等于零，接下來面對導函數中的參數就不知所措了.因此要解決這一問題，思維導圖是一個很好的辦法.在思維導圖（圖2）中函數的單調性、極值等性質很清楚，不僅能夠減少學生的錯誤，而且能讓他們養成良好的解題習慣.

[例2]已知函數[f（x）=（lnx-k-1）x][（k∈R）]，當[x>1]時，求[f（x）]的單調區間和極值.

分析：繪制本題的思維圖，如圖3.

解：∵[f（x）=（lnx-k-1）x][ （k∈R）]，

∴[x>0]，[f（x）=lnx-k]，

①[k≤0]時，∵[x>1]，∴[f（x）=lnx-k>0]，函數[f（x）]的單調增區間是[（1，+∞）]，沒有單調減區間，沒有極值.

②當[k>0]時，令[lnx-k=0]，解得[x=ek]，

當[1ek]時，[f（x）>0]，

∴函數[f（x）]的單調減區間是[（1，ek）]，單調增區間是[（ek，+∞）]，在區間[（1，+∞）]上的極小值為[f（ek）=-ek]，無極大值.

點評：解此類題目，一步錯，滿盤皆輸，所以一定要讓學生有足夠的重視，特別是基礎薄弱的學生，通過讓學生畫思維導圖，及按照思維導圖的流程書寫解題過程，能使學生養成良好的解題習慣.

三、幫助學生構建數學“套路”

“圓錐曲線焦點弦”問題，對于三星級學校的學生來說非常難，但是細心的教師會發現，這類問題是有“套路”可循的.圓錐曲線焦點弦問題主要的解題思路是“設而不求”，根據題意巧妙設未知數，設直線方程，并與橢圓方程聯立，利用韋達定理進行求解，而未知數本身卻不需要求出.又如證明定值的題目，我們常用的方法是設點、設角.將需要證明是定值的量用變量表示，化簡最后得到定值.

[例3]如圖4，已知橢圓的方程：[x29+y2=1.][ A1、A2]是左頂點和右頂點，[F1、F2]是左右焦點，過左焦點[F1]作一條直線，分別交橢圓于[M、N]兩點，設直線的斜率是[k]，當[k]取什么值時，[MN]等于橢圓短軸的長？

解：設[M（x1，y1），N（x2，y2）]，橢圓的方程為[x29+y2=1].

[∴]直線[MN]方程為[y=k（x+22） ]，

解方程組[x29+y2=1 ，y=k（x+22） ，]消去[y]得

[（1+9k2）x2+362k2x+9（8k2-1）=0].

[∴|MN|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=36（1+k2）+36k2（1+k2）（1+9k2）2=6+6k21+9k2] =2，

解得 [k=±33].

[例4]過橢圓[x24+y23=1]的焦點F任作一條與[x]軸不垂直的直線[l]，與曲線相交于點A、B，線段AB的中垂線交[x]軸于點M，求證[ABFM]為定值.

解：設直線[AB]與[x]軸的夾角為[α]，[B]點的橫坐標為[x0]，則[0<α<π2].不妨設[AF>BF]， [x0-c=BFcosα]，[x0=BFcosα+c]，[BF=a-ex0]，[BF1+ecosα=a-ec]，[BF=a-ec1+ecosα=b2a-ccosα]，

同理 [AF=b2a+ccosα]；

[∵a=2，b=3，c=1].

[∴BF=b2a-ccosα=32-cosα；]

[AF=b2a+ccosα=32+cosα]，

[AB=AF+FB=b2a-ccosα+b2a+ccosα=124-cos2α].

設AB的中點為N，則

2[FN=BF-FA=22-cosα-32+cosα=6cosα4-cos2α]，即 [FN=3cosα4-cos2α].

在[Rt△MNF]中，[MF=NFcosα=34-cos2α]，

從而[ABFM=4]是定值.

點評：例3、例4，一個設角，一個設邊，解題過程固定，但需要有一定的計算量.如果學生能掌握這樣的“套路”，那么其他問題也能解決.因此，在教學中，教師應該強調解題的通法，加強積累，適當總結.

總之，在教學中，教師只要從實際出發，運用正確的教學方法，科學引導，學生的成績肯定會提高.正如浙江省特級教師楊象富老師所說：“教學之后，靜心回味，寫下一孔一得之見識，記下一題一句之偶得，反思曾有的疏漏、失誤，欣賞教學激情迸發的‘思維火花.”

（責任編輯 黃桂堅）