汲取 應用 啟示*
——對一道教師競賽題的探究

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(東廬初級中學,江蘇 南京 211200)

近期，筆者有幸參加了江蘇省南京市第九屆優秀青年教師的筆試，遇到一道幾何證明題.由于試卷容量大、試題難度大，即使教師解答出此題，限于時間的原因，無法發現此題蘊含的價值．筆試后筆者發現其實此題所蘊含的解題方法，正符合波利亞的解題步驟．波利亞的解題步驟是：1)理解題目;2)擬定方案;3)執行方案;4)回顧[1]．在這4個步驟中，“理解題目”是解題的前提；“擬定方案”是解題的關鍵，往往是在不斷深入理解題目中進行的；“執行方案”是解題的具體操作呈現，較前兩個步驟容易一些；“回顧”是解題的必要步驟，檢查結果的同時，更應關注解題的回顧、提煉與拓展[2]．汲取波利亞的解題方法，下面我們來看看波利亞的解題方法在解題時的應用．

1 試題呈現

題目證明：對角線互相垂直的圓內接四邊形的對邊平方和是一個定值．

2 試題解法

2.1 理解題目

圖1

理解題目是指首先要弄清題目中的已知量是什么、未知量是什么.對于文字命題的證明，首先要根據題意，畫出圖形(如圖1)，然后結合圖形寫出已知、求證以及它們分別對應的已知量、未知量．已知：在⊙G中，四邊形ABCD為圓內接四邊形，AC⊥BD．求證：

AB2+CD2=BC2+AD2．此時題目審清了嗎？答案是否定的，因為原命題的結論要求的是一個定值，AB2+CD2=BC2+AD2會等于怎樣的定值？這是一個難點，筆者想到和圓有關的定值，無外乎圓的直徑(不妨設為d)或者圓的半徑(不妨設為r)，而AB2+CD2與BC2+AD2均是以平方的形式存在的，故筆者猜想

AB2+CD2=BC2+AD2=d2.

而d=2r，因此也可證明

AB2+CD2=BC2+AD2=4r2，

因此已知、求證可以完善為：

已知：在⊙G中，四邊形ABCD為圓內接四邊形，AC⊥BD，設圓的直徑為d．求證：AB2+CD2=BC2+AD2=d2．

2.2 擬定方案

擬定方案就是分析問題的已知量、未知量以及它們之間的聯系，以尋求解決問題的可能途徑．從所要證明的結論來看，要證明的結論AB2+CD2=BC2+AD2=d2(或者AB2+CD2=BC2+AD2=4r2)是一個連等式，于是擬定以下方案：

方案1證明AB2+CD2=BC2+AD2和BC2+AD2=d2；

方案2證明AB2+CD2=BC2+AD2和AB2+CD2=d2；

方案3證明BC2+AD2=d2和AB2+CD2=d2；

方案4證明AB2+CD2=BC2+AD2和BC2+AD2=4r2；

方案5證明AB2+CD2=BC2+AD2和AB2+CD2=4r2；

方案6證明AB2+CD2=4r2和BC2+AD2=4r2．

以上方案均與圓的直徑、半徑聯系密切，因此在證明過程中，要先將圓的直徑、半徑構造出來.有了直徑后通常要構造直徑所對的圓周角及圓周角對應的直角三角形，從而就可以用勾股定理.而結論中的AB2+CD2=d2雖然與勾股定理的形式很接近，但是線段AB，CD，d并不在同一個直角三角形中，這時還需通過線段相等把線段AB，CD，d轉化在同一個直角三角形中，這樣就找到了條件和結論的聯系．構造出半徑后，想到把半徑以及圓內接四邊形的邊密切聯系在一起的勾股定理、垂徑定理，然后求證．

圖2

2.3 執行方案

執行方案就是根據擬定的方案進行解題．

對于方案1：首先證明AB2+CD2=BC2+AD2．

如圖2，由AC⊥BD，知△DOC,△BOC,△AOB,△DOA是直角三角形.由勾股定理可得

AB2=OB2+OA2，AD2=AO2+OD2，

BC2=BO2+OC2，CD2=OC2+OD2,

從而

AB2+CD2=OB2+OA2+OC2+OD2，

BC2+AD2=BO2+OC2+OA2+OD2,

于是

AB2+CD2=BC2+AD2．

再證BC2+AD2=d2．如圖2，作直徑AM，聯結DM．在⊙G中，

∠ADM=90°， ∠AMD=∠ABD，

又因為∠BAC=90°-∠ABD，∠DAM=90°-∠AMD，所以

∠BAC=∠DAM，

即

BC=DM，

于是

BC2+AD2=DM2+AD2=AM2=d2，

方案1得證．

對于方案2中AB2+CD2=BC2+AD2的證明同方案1．

對于AB2+CD2=d2，可采用以下證法： 如圖3，作直徑DN，聯結CN．在⊙G中，

∠NCD=90°， ∠CAD=∠CND，

又因為∠CDN=90°-∠CND，∠ADB=90°-∠CAD，所以

∠CDN=∠ADB，

即

AB=CN，

于是

AB2+CD2=CN2+CD2=DN2=d2，

方案2得證．

圖3 圖4

對于方案3：BC2+AD2=d2和AB2+CD2=d2的證明，只要把方案1和方案2證明中的第二部分，整合到一起即可得證．

∠BCQ=90°， ∠AOB=90°， ∠BAC=∠BQC,

又因為∠CBQ=90°-∠BQC，∠ABD=90°-∠BAC，所以

∠CBQ=∠ABD，

即

AD=CQ，

于是

在Rt△BHG中，

即

BC2+AD2=4r2，

方案4得證．

對于方案5：AB2+CD2=BC2+AD2的證明過程仍同方案1．對于AB2+CD2=4r2的證明如下：

∠DCP=90°， ∠AOD=90°， ∠DAC=∠DPC,

又因為∠CDP=90°-∠DPC，∠ADB=90°-∠DAC，所以

∠CDP=∠ADB，

即

AB=PC，

于是

在Rt△DGJ中，

即

AB2+CD2=4r2，

方案5得證．

圖5 圖6

對于方案6：

方法1將方案4中BC2+AD2=4r2的證明和方案5中AB2+CD2=4r2的證明整合到一起即可得證．

方法2以兩條對角線的交點為原點、對角線所在直線為坐標軸建立直角坐標系(如圖6所示)， 取AD的中點E，聯結OE，作GH⊥BC于點H，由垂徑定理可知BH=CH．

得

OE=HG．

因為△DOA是直角三角形，E為AD的中點，所以

從而

在Rt△BGH中，

從而

即

BC2+AD2=4r2，

同理可得

AB2+CD2=4r2，

于是

AB2+CD2=BC2+AD2=4r2．

當然利用圖5坐標系的方法，也可以證明

AB2+CD2=BC2+AD2，

因為A(0，a)，B(-b，0)，C(0，-c)，D(d，0)，所以

AB2=a2+b2，CD2=c2+d2，

AD2=a2+d2,BC2=b2+c2，

從而

AB2+CD2=a2+b2+c2+d2，

BC2+AD2=b2+c2+a2+d2，

即

AB2+CD2=BC2+AD2．

2.4 回顧

回顧此題的解題過程，發現上述解法中構造直徑的方法，其實是圓的證明題中常用的方法，這種方法的巧妙之處是能夠構造直角三角形，便于與勾股定理聯系起來．而方案6的證法，則是巧用坐標系，把幾何證明轉化為代數證明，體現了數形結合的思想方法，對很多比較難的幾何題，構造坐標系是一種行之有效的方法．在證明方案2中結論AB2+CD2=d2時，通過構造Rt△DCN及證明線段相等AB=CN，把不在同一直角三角形中的3條線段AB,CD,d轉化在同一直角三角形中，這其實就是轉化思想方法．

3 對教學的啟示

3.1 解題探究應注重思路探索

解題探究的過程其實就是一種觀察、猜想、探索、證明、發現的過程．本題在理解題目時就是通過合情推理猜想出本題的結論，再利用合情推理擬定方案，得出本題的解題思路．在探索思路的過程中，可以讓學生思考：是否見過與此題相類似的題目？要解決的問題與以前的類似題有何聯系？需要添加輔助線建立聯系嗎？添加輔助線，可以引申出哪些新的結論？這些新的結論可以成為新題和舊題的橋梁嗎？通過這些問題，尋找解題思路，打破思維障礙，從而成功解題．思路的探索其實就是擬定方案的過程，因此教學中應引導學生憑借經驗和直覺，通過歸納、類比等推斷某些結果，這其實是推理能力中的合情推理，也就是說用合情推理探索思路，發現結論，再用演繹推理證明結論．總之，一道幾何證明題應注重探索解題思路，即注重擬定方案的過程，有了解題思路，可謂是成功了一半．

3.2 解題探究應關注思想方法

《義務教育數學課程標準(2011年版)》將“雙基”變為“四基”，其中增加的一條就是“基本思想”．數學思想方法是將數學知識轉化為數學能力的內在動力，它是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括．傳統的數學教學只重視單純的數學知識的教學，殊不知這樣的教學僅僅是學生知識的積累，是會遺忘甚至于消失的，而方法的掌握、思想的形成，才能使學生受益終生，正所謂“授之以魚，不如授之以漁”．也就是說，學生需要學習的不僅是孤立的一個題目的解法，還有知識的理性內涵與本質意蘊、過程中的關鍵方法與核心思想[3]．其實波利亞解題步驟的擬定方案的過程，最終是將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題來探究，這個過程就是一種轉化的思想方法.例如：方案1在證明BC2+AD2=d2時，就用了轉化的思想方法，將要證明的式子BC2+AD2=d2，轉化為與勾股定理相關的式子；方案6中構造坐標系的方法即利用數形結合的思想方法，將幾何問題轉化為代數問題．

3.3 解題探究應做到解題回顧

解題探究后要重視解題后的反思，教師要引導學生對整個解題過程和涉及到的知識點、輔助線的添加方法進行回顧反思;對解題中發生的錯誤思路或者是卡殼思路進行分析，對解題的技巧、思想方法進行思考和總結;另外，還可看看解題的過程中是否產生新的結論，新結論可以作為一種經驗總結，以備在以后的解題中作為解題的突破口，解題反思可以使學生的解題思路得到開拓，分析問題和解決問題的水平得到進一步的升華．另外，通過引導學生歸納解題方法、技巧、規律和思想方法，能夠促進知識向能力的轉變，實現自我完善，爭取做一題通一法、會一類通一片的效果[4].

在解題教學中，教師應該引導學生借助波利亞解題的4個步驟來思考和解決問題，重在引導學生得到分析問題、解決問題的方案和策略，也就是說根據波利亞解題步驟擬定方案，是解決問題的關鍵，同時也能培養學生的思維習慣．

[1] 波利亞．怎樣解題[M]．涂泓，馮承天，譯．上海：上海科技教育出版社，2010．

[2] 杭秉全．從“怎樣解題”到“學會解題”[J]．中學數學教學參考：中旬，2015(12)：25．

[3] 章建躍．數學學習與智慧發展[J]．中學數學教學參考：中旬，2015(7)：4-10 ．

[4] 李學軍．用本促真 貼地而行——一道高二試題的思考歷程[J]．中學教研(數學)，2016(4):27-30．