讓解題思路因聯想而“自然”*
——一道高考題的解法探究與拓展

●

(浙江師范大學數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

例1設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是______.

(2011年浙江省數學高考理科試題第16題)

本題作為數學高考填空題的壓軸題，難度較大，許多學生面對此題時一籌莫展，無從下手.其實此題較為開放，入口較寬，是一道精心打造的好題.此題命題者是如何求解的筆者無從得知，以下是網上及眾多數學教輔資料上提供的一種解法：

解法1由4x2+y2+xy=1，得

則

當且僅當2x=y時，等號成立，即

上述解法非常簡潔，但是技巧性太強.第一步“配方”的過程尤如“神來之筆”，如同波利亞所謂的“從帽子里跑出一只兔子”，學生除了贊嘆方法的巧妙之外，只能望題興嘆：我怎么就想不到？[1]出現這種狀況的主要原因是：上述解法的解題思路不“自然”.

那么，如何才能形成“自然”的解題思路呢？在面對一個較困難的問題時，波利亞在《怎樣解題》一書中，他給學生的建議是：通過聯想，找到一個你所熟悉的與現在的問題具有相同或相似未知數的問題，分析差異，然后利用你已有的活動經驗對你現在的問題加以解決[2].

下面以上述試題的求解為例，就如何才能形成“自然”的解題思路作一些探討.

1 解法探究

聯想1已知條件4x2+y2+xy=1的左式是一個二次三項式，對于這種二次三項式，常用方法是試圖將其配方，使其出現平方和的形式，然后采用三角換元.

解法2由4x2+y2+xy=1，配方得

聯想2將已知條件寫成

(2x+y)2=1+3xy，

聯想到基本不等式

可將其轉化為關于2x+y的不等式，求解后即得2x+y的最大值.

解法3由4x2+y2+xy=1,得

(2x+y)2=1+3y.

所以

即

聯想3將已知條件寫成

由左邊的形式可以聯想到余弦定理，從而可以將2x,y,1放入一個三角形中.

由正弦定理知

聯想4題目要求的是2x+y的最大值，這是一個二元一次函數的最值問題，聯想到我們常利用數形結合思想處理二元一次函數的最值問題.可將4x2+y2+xy=1視為一封閉的二次曲線，記2x+y=t，視為一動直線，目標函數t=2x+y的最值往往產生于直線與曲線相切這一極端位置.

解法5設2x+y=t，聯立

消去y,得

6x2-3tx+t2-1=0.

由于直線與曲線有公共點，則

Δ=(-3t)2-4×6(t2-1)≥0，

化簡得

從而

2 試題拓展

將已知條件4x2+y2+xy=1中的常量“1”用變量“z”替換，上述試題可拓展為：

本題的難度雖然很大，但是聯想到例1的多種解法，我們不難得出本題的多種解法，有興趣的讀者不妨一試，以下提供其中的一種解法：

解由4x2+y2+xy=z配方得

設x=t(其中t≠0)，則

y=2t，z=4t2+(2t)2+2t2=10t2，

在進行解題教學時，教師應淡化解題技巧，注重通性通法；應多引導學生去“聯想”，力爭貼近學生思維的“最近發展區”，讓解題思路因聯想而“自然”，從而讓學生感到這種解法便是“他應當想到的”，進而有效提升學生的解題能力.在此基礎上，教師若能對已解決的問題進行適當的拓展，則更能有效提升學生的解題能力.

[1] 波利亞.數學的發現[M].劉景麟，曹之江,譯.北京：科學出版社，2006.

[2] 波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇,譯.北京：科學出版社，1982.

[3] 孔勝濤.編題教學法在數學教學中的嘗試[J].數學教學研究，2017(7)：23-25.