解題教學需要重視發展學生的聯想能力*

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(南京師范大學附屬揚子中學，江蘇 南京 210048)

聯想是新舊事物建立聯系的產物，是形象思維，是一種記憶方法和思維方法，數學解題的思路尋求應該基于已有的認知結構進行思維方法聯想[1].在平時的解題教學中，筆者經常會遇到這樣的現象：學生面對新的問題時感覺霧里看花而無從下手，等到教師評講完才恍然大悟.學生的困境不單單是接受能力差導致數學成績不理想，原因當然眾多，其中最突出的就是解題時缺乏聯想能力，不會將新問題與已掌握的知識或舊問題聯系起來.因此，在解題教學中，發展學生的聯想能力，增強學生對數學解題的靈活性是十分必要的.以下筆者結合2017年江蘇省數學高考題，從聯想概念和原理、聯想通性通法、聯想基本數學思想、聯想解題基本流程這4個方面，談談解題教學中發展學生聯想能力的重要性，以期提升學生的解題能力.

1 聯想概念、原理

章建躍博士認為：“在解題教學中，要使學生逐步養成從基本概念、基本原理及其聯系性出發思考和解決問題的習慣.”其實學生眼里的粗心錯誤大都是對知識或概念的聯想不準確、不到位造成的.因此,基本概念、原理的重要性不言而喻.基本概念、原理是學生解題時產生聯想的基礎，準確聯想出正確的概念和原理是善于解題的前提.

在解題教學中，教師應該在概念復習上下功夫，要打通、串聯起概念在整個章節、甚至整個階段學習中的關系、地位與作用，在解題的過程中不斷突出聯想概念、原理等解題的規律與方法.函數是高中數學最重要的概念，函數的下位概念中，最重要的是函數的單調性、奇偶性，研究函數問題的實質就是研究函數的圖像和性質，解決函數問題，只要能準確聯想出函數的圖像與性質，問題就會迎刃而解.

(2017年江蘇省數學高考試題第11題)

解函數f(x)的定義域為R,因為

所以函數f(x)為奇函數.又

且f′(x)=0不恒成立，從而f(x)在定義域R上單調遞增，于是

f(a-1)+f(2a2)≤0,

等價于

f(a-1)≤-f(2a2)=f(-2a2)，

即

a-1≤-2a2，

得

評注本題是以單調性、奇偶性概念為載體的函數不等式問題,如果直接求解，計算相當繁瑣；但如果能夠積極聯想函數單調性、奇偶性等概念，是不難得到答案的.奇怪的是，從筆者平時對學生的觀察和閱卷得分來看，這類題得分率都不高，主要原因是學生缺乏聯想以及運用概念、原理解題的意識，應當引起重視.

2 聯想通性通法

章建躍博士認為：“注重通性通法才是好數學教學.”數學難學，難在何處？除了數學概念本身外，看似千變萬化的解題方法或許是主因.不少教師的解題教學，熱衷于解法1、解法2、解法3……，卻摒棄了大巧若拙的通性通法，把學生的注意力引到了“題型+技巧”上，使學生忘掉了解題的根本，沒有真正學會最基本的數學思考方法；注重通性通法是高考命題一直堅持的原則[2].在解題教學中，讓學生掌握最基本的方法，強調方法的普遍性，培養學生聯想通性通法的意識，讓學生具有一雙透過現象看本質的“慧眼”，這才是追求解題教學的“長遠利益”.

圖1

(2017年江蘇省數學高考試題第12題)

解法1(基底法)由題意得

又由tanα=7，其中α∈[0,π],得

得

兩式相加得

m+n=3.

即

得

m+n=3.

評注本題考查的是高考要求的8個C級考點之一:平面向量的數量積.基底法、坐標法及定義法是處理平面向量數量積的通用方法,只要學生能夠積極聯想出3種通法的其中一種，是不難得到答案的.

3 聯想基本數學思想

方法是技巧的積累，思想是方法的升華，解決數學問題的靈魂就是思想；學數學知識需要數學思想，學數學解題更需要數學思想給力.解題教學就要發揮數學思想的功能，在解題教學中，積極引導學生聯想高屋建瓴的數學思想，讓學生站在較高的觀點上去研究解題，從數學的本質上去看待解題，學生的思維能力就能得到充分的發展，數學問題的解決就變得簡單而自然[3].解題時常用的數學思想有：函數思想、轉化思想、數形結合思想和分類討論思想等等.

(2017年江蘇省數學高考試題第14題)

從而

矛盾，故lgx?Q,畫出函數圖像(如圖2).

圖2

除(1,0)外,其他交點的橫坐標均為無理數，每個周期x?D的部分，且在x=1附近僅有一個交點，因此方程f(x)-lgx=0的解的個數是8.

評注這是一道函數零點問題.判斷函數零點個數的常用的思想方法有：1)解方程；2)零點存在性定理，函數思想；3)數形結合思想，轉化為兩個函數圖像的交點個數.其中第3種是解決這類問題的利器.

圖3

1)略；

2)將l放在容器Ⅱ中,l的一端置于點E處，另一端置于側棱GG1上，求l沒入水中部分的長度.

(2017年江蘇省數學高考試題第18題)

解1)略.

圖4

2)如圖4,以EG所在直線為x軸、OO1所在的直線為y軸建立直角坐標系，則E(-7，0),G(7，0),水面所在的直線為y=12.記∠EGG1=α,∠ENG=β,則

從而直線GG1的方程為

3y-4x+28=0.

在△ENG中，由正弦定理可得

從而直線EN的方程為

4y-3x-21=0.

記EN與y=12的交點為P2，可解得P2(9，12)，過點P2作P2Q2⊥EG，垂足為Q2，則

P2Q2=12，EQ2=16,

從而

EP2=20．

評注本題是以幾何圖形為載體的應用題，其實質是解三角形問題.第2)小題的難點是復雜的邊角關系，不容易直接求出線段長度,使得不少學生走了彎路.此題的本質就是求一個變量的值，有兩種思路：一是函數的思想，直接求出變量的值；二是方程的思想，尋找該變量滿足的方程或等式.若引入了多元變量，則消元思想將是不錯的選擇,最終回歸到轉化與化歸的基本數學思想.只要學生有聯想轉化、函數與方程等數學思想的意識，這道題就很容易得分.

4 聯想解題基本流程

波利亞發明了《怎樣解題》表，提出了“弄清問題、擬定計劃、實現計劃和回顧”這4個思維流程，4個流程的關鍵是弄清問題，核心是擬定計劃，實現計劃，提高在于回顧反思.當學生有了一定的聯想習慣后，對于一些簡單的數學問題，可能會很容易解決，但當遇到有一定難度的問題時，仍無法獨立完成，這就需要教師積極引導學生聯想解題的4個基本流程.弄清問題就是說，在解題之前，將題目中的已知條件、潛在條件及要求問題理清，找出它們的來龍去脈.解題前問問自己：從已知條件還能知道什么，結論需要什么？擬定計劃就是在弄清問題的基礎上，探索已知、可知與結論之間的橋梁.如果弄不清已知和結論的聯系，那么試著循著已知往前走一走.實現計劃不僅能便于發現思路可能存在的問題和錯誤，也可以盡可能地做到規范書寫解答，會而不丟分；回顧、反思、升華自己對解法的理解，盡可能地提煉總結出處理“一類問題”的經驗與方法.

解題教學的最終目的是讓學生學會解題.實踐表明：積極聯想、運用解決問題的基本流程，無論是成功的還是失敗的嘗試，對提高解題能力和思維能力有著重要的積極作用.

例5對于給定的正整數k,若數列{an}滿足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對任意正整數n(其中n>k)總成立，則稱數列{an}是“P(k)數列”.

1)略；

2)若數列{an}既是“P(2)數列”，又是“P(3)數列”，證明：{an}是等差數列.

(2017年江蘇省數學高考試題第19題)

分析1)略.

2)(弄清問題) 因為數列{an}既是“P(2)數列”，又是“P(3)數列”, 所以

an-2+an-1+an+1+an+2=4an(其中n>3)，

(1)

an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an(其中n≥4).

(2)

(擬定計劃)結論的實質是利用等差數列定義證明an+1-an=d(其中d為常數)或2an=an-1+an+1.由已知推結論，需要減元.

方法1式(2)-式(1)，可得

an-3+an+3=2an(其中n≥4).

接下來通過賦值法證明3個子等差數列公差相同且前3項等差即可.

方法2由式(1)知

an-3+an-2=4an-1-(an+an+1)，

(3)

an+2+an+3=4an+1-(an+an-1)，

(4)

將式(3)、式(4)代入式(2)可得

2an=an-1+an+1(其中n≥4).

接下來通過賦值法證明前3項等差即可.

(實現計劃)規范書寫省略.

(回顧反思)新定義題目，首先是翻譯定義，由遞推關系得變量之間的關系，利用減元、賦特殊值等思想回歸等差數列的定義.

評注這道用新定義形式命題的數列壓軸題，考查的是等差數列證明.教師要在解題教學中幫助學生養成良好的解題習慣，有意識地去引導學生用流程化的思維去聯想“一類問題”的解題基本流程.

5 結束語

總之，在解題教學中，通過對學生聯想能力的培養，不僅能使學生形成良好的認知結構，還能使學生建立知識網絡，掌握數學知識內在的聯系，抓住數學思維的內在本質，加深數學思想方法的理解，引領學生跳出題海.只有重視發展學生在數學解題中的聯想能力，才能使學生真正領悟數學真諦，懂得數學價值，學會數學地思維，把知識的學習、核心素養的培養與發展智力有機地統一起來.

[1] 張朋舉.基于方法聯想的高三解題教學實錄與反思[J].中小學數學:高中，2017(5):47-49.

[2] 曹鳳山.綠色的解題策略:回歸原點[J].中小學數學:高中,2016(10): 43-45.

[3] 章林海.揭示本質，找準突破，讓思維回歸“自然”[J].中學教研(數學)，2017(5):4-8.