例談高中數學教學中如何巧設問題鏈

戴慶志

摘 要：在新課程實施過程中，教師通過問題的設置來開展教學目前還存在種種問題。為了解決這些問題，筆者認為可以運用設計問題鏈來進行教學。本文通過舉例，著重探討了高中數學教學中如何巧設問題鏈的方法。

關鍵詞：數學教學；問題鏈；方法

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）23-093-2

一、為自然地引入新概念或新方法設計的問題鏈

在數學新概念或新方法的教學中，很多教師往往不注重概念或方法的形成過程，只重視概念或方法的運用，忽視數學知識的產生與形成的重要階段，強行地將一些數學新概念或新方法灌輸給學生，無從體現學生的主體性，影響了學生形成正確的數學理解，阻礙學生的能力發展。

例1 在“橢圓第一定義”的學習中，我們可以給出了以下問題鏈：問題一、圓的定義是怎樣的？問題二、圓還可以看作滿足什么條件的點的軌跡？（平面內到定點距離等于定長的點的軌跡；平面內到兩定點距離的平方和等于定長的點的集合；平面內到兩定點所得連線互相垂直的點的軌跡……），這個問題的設置目的是培養學生發散思維能力，激發學生的創新意識。問題三、改變上述條件，你還可以提出哪些軌跡問題？（學生提出：到兩定點距離這和為定長的點的軌跡，到兩定點距離之差為定長的點的軌跡，到兩定點距離平方差為定長的點的軌跡……），這個問題的設置目的是培養學生的提出問題、解決問題的實踐探索能力和分類討論思想。

然后請學生研究：求到兩定點距離之和等于定長的點的軌跡。（實物演示、計算器或電腦畫圖等）

其余問題作為研究性課題留給學生課后研究并寫出小結，再集中展示成果。（培養學生的探究能力）……

二、為分散難點作鋪墊而設計的問題鏈

數學教學過程是指導學生將新知識與原有認識結構中的有關知識相互作用，以形成發展新的認知結構的動態過程。有時為了解決一個難度較大或靈活性較強的問題，往往需要為分散難點作鋪墊而設計一些循序漸進的問題鏈，通過一些中間問題的過渡，使中間問題的解決提供中間結果和解題方法，從而起到過渡作用。一般在給出問題的大前提后，把問題分成幾問，再對各問層層加深，不斷提高，而各問題間既相對獨立，又具有或緊或松的聯系，通過對這個問題鏈的探索、解決，從而實現學生新的認知結構的完善。

例2 是否存在常數a，b，使函數f（x）=x（a+b2x-1）是偶函數。在這個問題的研究中，我們可以作了如下鋪墊：

問題1 判斷函數f（x）=12+12x-1的奇偶性。其目的是的：引導學生在遇到困難問題時，先考慮特殊情況，讓問題簡化，再實現從特殊到一般的推廣。

問題2 判斷函數f（x）=x（12+12x-1）的奇偶性。

學生既可用函數奇偶性的定義來解決，得出是偶函數，也可設g（x）=x，h（x）=x（12+12x-1），它們都是奇函數，所以f（x）=g（x）h（x）是偶函數。

問題3 是否存在常數a，使函數f（x）=x（a+12x-1）是偶函數？

這是一個有一定難度的存在性問題，原先學生不易解決，但這里受到上題的啟發，使他們看到：只要判斷是否存在使函數f（x）=12+12x-1為奇函數即可。這樣，問題就轉化為使h（x）+h（-x）=0成立的常數a，即解方程（a+12-x-1）+（a+12x-1）=0即2a+2x1-2x+12x-1=0，即2a-1=0所以a=12。故當a=12函數f（x）=x（a+12x-1）是偶函數。

最后在研究問題4是否存在常數a，b，使函數f（x）=x（a+b2x-1）是偶函數。由于本例受上題的影響，己經不再困難。

可見，為分散難點作鋪墊而設計問題鏈的方法是展示知識生成過程、培養學生進行科學思維的過程，也是培養學生提出問題、解決問題能力、促進數學理解的過程。

三、為鞏固知識和技能而設計的問題鏈

在數學教學過程中，為了讓學生鞏固知識和技能、進一步完善認知結構，可以通過設計問題鏈的方法引導學生進行主動探索，而不是靠單純的模仿練習和機械記憶。在教學過程中，教師往往可以在學生已有認知結構的基礎上，可以對問題進行拓展、發散，實現提出問題一解決問題一提出新問題的過程，各問題可以從簡單到復雜，環環相扣，從而實現對知識和技能的綜合鞏固。

例3 圓錐曲線的定義和解析法是解析幾何的重要知識和重要思想，為了讓學生更好的理解圓錐曲線的定義和解析法，在章節復習中，我們可以設計了以下問題鏈：

問題1 若在平面內，|F1F2|=2，|PF1|+|PF2|=4，求P點的軌跡方程。

問題2 若在平面內，|F1F2|=2，|PF1|+|PF2|=2，求P點的軌跡方程。

問題3 若在平面內，|F1F2|=2，|PF1|-|PF2|=1，求P點的軌跡方程。

問題4 若在平面內，|F1F2|=2，|PF1|-|PF2|=2，求P點的軌跡方程。

問題5 若在平面內，三角形PF1F2中，|F1F2|=2，|PF1|+|PF2|=4，求P點的軌跡方程。

問題6 若在平面內，三角形PF1F2中，|F1F2|=2，|PF1|-|PF2|=1，求P點的軌跡方程。

問題7 若在平面內，|F1F2|=a，|PF1|=|PF2|，求P點的軌跡方程。

……

以上的問題鏈，其知識覆蓋整個解析幾何乃至于初中幾何，數學方法與思想覆蓋整個高中數學。這樣對問題鏈的研究，不但使學生對解析幾何一章的內容有更深的理解，而且各方面的知識與能力也得到充分的提高。

數學在發現問題——解決問題——再發現問題的不斷往復循環的過程中發展和前進，而學生的數學知識體系、認知結構在不斷地發現矛盾和解決問題，尋找缺陷和補證不足中逐步完善。所以，問題鏈方法是一種以適應客觀世界的運動變化和數學嚴謹邏輯性之需要為目的的辯證的動態思維方法，是全面系統展示知識生成的過程，有益于促進學生數學理解。endprint