全概率公式案例式教學設計

李娜+王丹齡

【摘要】以案例式教學作為全概率公式的主要教學手段，選取貼近實際生活的案例——抽簽問題作為教學切入點，激發學生的學習興趣，并引導學生從問題的實際背景出發，發現解決問題的關鍵.經過課堂教學實踐，案例式教學能夠加深學生對全概率公式的理解，開闊學生的視野，并將全概率公式靈活應用于其他實際問題，如敏感性問題等.

【關鍵詞】全概率公式；案例式教學；抽簽問題；敏感問題調查

一、引 言

全概率公式是概率論這門課程中非常重要的內容之一，是加法公式和乘法公式的綜合運用.它具有廣泛的實際應用價值，在醫療診斷、投資、保險等不確定問題中有著重要的應用.本節要求學生理解和掌握劃分的定義和幾何解釋，能夠利用條件概率的定義及乘法公式推導出全概率公式，重點掌握全概率公式的產生背景及其本質，能夠應用公式正確地進行運算，并學會用全概率公式解決實際問題.

在教學設計中，首先從有趣的抽簽問題引出全概率公式，進而通過概念的講解、敏感問題調查的設計，讓學生充分認識到全概率公式的重要性和應用的廣泛性，引導學生運用所學知識去觀察生活，培養學生由淺入深地分析問題、解決問題的思維方式.特別地，在教學過程中融入新的教學手段，通過Matlab軟件模擬將各種分析和應用直觀呈現出來，加深學生對知識點的理解，提高學生的學習興趣.

二、抽簽問題

10張同樣的卡片只有2張上面印有“迪士尼門票”，其余的什么也沒寫，將其洗勻后，做“無放回”地依次抽取.問：后抽的人比先抽的人吃虧嗎？

【問題分析】首先提問學生，第一個人抽中的概率是多少？第二個人抽中的概率呢？

第一個人抽中的概率為15，第二個人抽中的概率就有回答29或19的，還有回答和第一個人抽中的概率一樣的.帶著學生給出的答案，分析第二個人抽中的概率需要分成第一個人抽中和第一個人沒抽中兩種情況分別考慮，這也就是這節內容的重點——全概率公式.

通過圖解法讓學生理解全概率公式的核心思想，“化整為零，各個擊破”.用樣本空間的一個劃分將事件A分成一系列積事件的和事件，再逐個計算積事件的概率最后求和得到A的概率.

四、模擬結果

計算機模擬是為學生展示分析問題的另一個直觀有效的方式.如圖2所示，圖中左上圖：模擬了1 000次試驗結果，每一縱列是一次試驗結果；右上圖：為一次試驗的模擬圖，紅色代表沒有抽中，綠色代表抽中；右下圖：為10中2的理論概率值；左下圖：每個人在1 000次模擬中抽中的累計次數和累計頻率.

通過程序模擬既可以看到抽簽的公平性，又可以加深學生對概率和頻率關系的理解，即當試驗次數很多時，頻率與概率之間是非常接近的.

五、敏感問題調查

敏感問題是指涉及個人隱私的問題以及大多數人認為不便于在公開場合表態或陳述的問題，如私人財產、吸毒、作弊等.進行這類問題調查時，如不注意方式、措辭等，就會使拒答率相當高，或者得不到真實的答案，從而導致調查失敗.1965年Warner提出了一種隨機化回答的方法.其設計原則是根據敏感性特征設計兩個相互對立的問題，讓被調查者按預定的概率從中選擇一個回答，調查者無權過問被調查者究竟回答的是哪一個問題，從而起到了為被調查者保密的效果.

為調查某次考試的作弊情況，給被訪者設定兩個問題：

問題一：你在本次考試中作弊了嗎？

問題二：你在本次考試中沒有作弊嗎？

被訪者通過隨機抽簽來回答問題一或者問題二.如果被訪者真的作弊了，抽中問題一則答“是”，抽中問題二則答“否”，抽簽的結果只有自己知道，他只需回答“是”或“否”，而訪問者并不知道回答的是問題一還是問題二，所以被訪者可以沒有顧慮地真實回答.

假設被訪者回答問題一的概率為0.7，所有收回的答案中回答“是”的概率是0.31，試估計此次考試的作弊率.

從本例可以看出，Warner提出的隨機化回答的方法就是利用全概率的思想，打消被訪者的顧慮真實回答問題，調查者通過計算就能夠得到真實的數據.

六、結 論

案例式教學設計符合學生的認知規律和實際水平，通過對實例的分析，培養學生自覺主動地運用課堂上學到的知識去解決實際生活中遇到的問題，真正做到學以致用.如，在日常生活中經常遇到的抽簽問題，可通過Matlab模擬抽簽結果并分析感性認識的誤區.教學過程中由動畫展示、計算機仿真模擬、現實數據檢驗等營造出的輕松活躍的教學氛圍有效地激發了學生的學習興趣，有助于學生掌握本節課的學習內容.

【參考文獻】

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