全概率公式與概率加法定理的關系

郝曉燕

【摘要】求概率問題是概率論中的一個基礎而重要內容，而對所求事件的分析是求概率問題的難點，能夠準確分析所求概率的事件對解決求概率問題起著非常關鍵的作用，而全概率公式是概率論中的重點和難點內容，其難主要是難在學生往往不知道什么時候用全概率公式，即對全概率公式的使用條件模糊不清，判斷不準，經常與概率加法定理混淆.本文在給出全概率公式和概率加法定理的基礎上，分析全概率公式和概率加法定理的使用條件，進一步澄清二者的關系.

【關鍵詞】全概率公式；概率加法定理；互斥

一、基礎知識

（一）求概率的基本步驟

1.審清題意，搞清關系；

2.明確所求概率的事件，并將其設作A；

3.分析事件A：

（ⅰ）事件A不可以再分，只能把它看作單個事件來分析，考慮用古典定義或者是考慮用全概率公式來求.如果用古典定義來求，必須明確樣本空間是什么，以及樣本空間中的基本事件總數與所求事件所包含的事件數；如果用全概率公式來求，就要確定互不相容的完備事件組是什么，再用全概率公式進行計算.

（ⅱ）事件A的發生意味著幾個事件都發生，此時該事件可以表示成某些個事件的交事件，再進一步分析這些事件是否相互獨立.如果獨立，就可以利用獨立事件的交事件的概率等于這些事件的概率的乘積；如果不獨立，這些事件的交事件就需要用概率乘法定理計算.

（ⅲ）事件A的發生意味著幾個事件中至少有一個事件發生，此時該事件可以表示某些個事件的并，再進一步分析這些事件是否互斥，即是否可以同時發生.如果互斥，就可以利用互斥事件并事件的概率等于這些事件概率之和來求；如果不互斥，這些事件的并事件的概率就需要用概率加法定理計算.

（ⅳ）條件概率，使用條件概率的計算公式即可計算.

4.計算各個事件的概率進而得出所求事件的概率；

5.作答.

（二）全概率公式和概率加法定理

1.概率加法定理[1]：

（三）全概率公式和概率加法定理的使用條件

1.概率加法定理的使用條件：當所求概率的事件是兩個或者多個事件中至少有一個事件發生，此時就用概率加法定理進行求解.

2.全概率公式的使用條件：兩次試驗概型，即所求概率的事件與兩次試驗有關，第一次試驗的結果直接影響第二次試驗發生某事件的可能性大小.

【參考文獻】

[1]沈恒范.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]盛聚，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].第3版.北京：高等教育出版社，2001.endprint