高中數學中三角函數解題思路教學探析

陳艷

【內容摘要】三角函數是數學知識的一個特殊的領域，在高中數學知識的學習中，三角函數所占的比重是非常大的。三角函數也具有獨特的解題思維，教師在三角函數解體的思路上要打開學生思維。另外，三角函數方面的知識也是非常錯綜復雜的，三角函數知識包括嚴謹的思維邏輯，復雜多變的函數公式和千變萬化的函數圖像。解答三角函數方面的問題要掌握正確的方式方法，需要掌握的不僅僅是解體方法，更重要的是要有解題的思維。下面就三角函數的概念、公式和思維方式淺談自己的觀點。

【關鍵詞】三角函數 思維 解題方法

一、深刻理解概念

在解答三角函數的問題之前，應該先將書本上三角函數的概念吃透。課本上總結的函數概念都是數學家經過嚴謹的推敲得到的，非常具有理解價值。另一方面來講，三角函數的概念也是函數的基本定義，正確解答高中三角函數的題目，深刻的理解概念就是重要前提。三角函數領域的概念也是相當多的，比如正弦函數、余弦函數、正切函數的定義和其單調區間的確定等。如何熟練的掌握繁多的概念定義決定了是否能夠正確解答三角函數的題目，在學習概念時要分析概念中的每一個字，每一句話，仔細推敲和反復練習題目進行鞏固。

例如函數f（x）=A sin（Cx-π6）+1（A>0，C>0）的最大值為3，其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2，

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）設α∈（0，π2），則f（α2）=2，求α的值

解析：本題考察三角函數的圖形與性質，熟練掌握倍角公式及公式之間的運算，考察基本功，通過圖形來判斷各方面之間的關系，通過觀察圖像的對稱軸來寫出解析式可以很好的解析本題，以此來解答本題，切記不可混淆各個公式。

解：（1）因為函數f（x）的最大值是3，所以A+1=3，即A=2.

因為函數圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2，所以最小周期值T=π，所以C=2.故函數f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x-π6）+1.

（2）因為f（α2）=2sin（α-π6）+1=2，即sin（α-π6）=12，因為0<α<π2，所以-π6<α-π6<π3，所以α-π6=π6，故α=π3.

二、準確記住公式

高中數學三角函數領域中的公式可謂是最多的而且是最具有靈活性的，繁多的函數公式和變化多端的函數變換形式使得解答三角函數題目難上加難。在學習公式的時候，要掌握三角函數公式的規律，三角函數的公式都是具有很強的關聯性的。例如正弦函數和余弦函數、正切函數之間的轉換，三角函數的二倍角公式和萬能公式的使用。這些都是有很強的關聯的。在掌握公式的時候，可以自己創一個公式口訣來幫助記憶。另外，在利用三角函數公式進行解題時，要正確的運用公式，因為三角函數的大部分公式之間都是可以相互轉換的，只要換一個思路就可以換一個函數公式進行解答。但是最好的解答方式是運用最簡便的公式解出題目，可以適當的化繁為簡，根據良好的解題思路運用適當的函數公式進行解答。

例如，已知角α的終邊經過點（3，-4），則tanα2=（ ）。

分析：解答這類三角函數的題目時，要熟練的掌握三角函數的圖像和公式之間的轉換。利用任意角的三角函數的定義先求出tanα的值，然后再由三角函數

的二倍角公式可求出tanα2的值。因為題目中提出角a的終邊上的點P（3，-4），所以可以知道α2是第二象限角或者是第四象限角。然后由任意角的三角函數的定義可得tanα=-43。然后利用三角函數的二倍角公式可以求出tanα2=-12或tanα2=2。因為α2是第二象限角或者是第四象限角，所以tanα2的值為負值，所以舍去結果tanα2=2。則tanα2=-12.所以此題的答案就解出來了。

三、培養學生的思維能力

三角函數知識的學習最重要的就上要具有抽象的思維能力和解題思路。三角函數領域的題目都是比較固定的形式，所以解答三角函數的題目不可以用“背題”的方法進行解答。三角函數對于學生的思維能力要求較高，因為三角函數在日常生活中的應用不是特別廣泛，這就導致學生接觸三角函數的案例的機會很少。所以，培養學生的抽象的思維能力和嚴謹的解題思維是解答三角函數問題的有效前提。

例如平面區域如下圖所示，使目標函數z=x+a y（a>0），取得最大值的最優解有無窮多個，則a的值是多少（ ）。

在分析這道三角函數的題目時，要求學生掌握三角函數圖像的特點，先對目標函數z=x+a y（a>0）進行變形，得到y=1ax+za.根據目標函數取得最大值的最優解有無窮多個可以得出1a=-23.則a的值為1a的倒數，即為32.所以此題的答案就是a=32.

結束語

三角函數的問題說簡單也不簡單，但是說難也不難。學生在解答三角函數之類的數學問題時要利用正確的方法，鍛煉自己的數學思維和抽象思維，肯于勤下功夫去了解它，鉆研它，那么一切的問題都會迎刃而解的。高中三角函數相對來說比較難，解答問題的阻力也會隨著變大，但是，學生只要掌握合理的學習方法和培養正確的解題思路，三角函數就變成了一成不變的題目。無非就是公式的互相轉換，函數圖象的平移、翻轉變化。教師在授課時也要把側重點偏移到培養學生思維能力和解題思路上去，使三角函數問題不再成為學生的困擾。

【參考文獻】

[1] 崔曉明編《高中數學學習方式探究》[M].山西師范大學出版社.2015（7）：13-17.

[2] 劉玉生著《三角函數公式之間的轉換》[M].東方出版社.2015（15）：143-146.

[3] 張志《學習思維的培養》[M].人民教育出版社.2016（13）：213-214.

（作者單位：長春市養正高級中學）