結合數學歸納法原理探討新課程標準下的數學歸納法教法

摘 要：數學歸納法是中學生難以理解掌握的十大概念之一，古往今來對數學歸納法的研究層出不窮，根據教育部日前印發普通高中課程方案和課程標準（2017年版）增加的數學學科核心素養，勢必對以往普通的數學歸納法教法有所沖擊。

關鍵詞：數學歸納法；遞推；證明；教學設計

一、 新課程標準關于數學歸納法的要求

教育部日前印發普通高中課程方案和課程標準（2017年版），與2003年頒布實施的普通高中課程方案相比，新課程方案和課程標準在文本結構、內容及其實施要求等方面進行了改進和完善。在文本結構上，主要新增了學科核心素養和學業質量要求兩個部分，內容更全面，結構也更加完整，努力使標準從整體上有較大提升。在課程標準內容方面，努力凸顯思想性、時代性和整體性等。值得關注的是，各學科首次凝練提出學科核心素養，明確了學生學習該學科課程后應形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力，并圍繞學科核心素養的落實，精選、重組教學活動，提出考試評價的建議。

數學學科核心素養的內容是數學抽象，邏輯推理，數學建模，直觀想象，數學運算和數據分析。他們既相互獨立又相互交融，是一個有機整體。在以往的教學中，學生對于數學歸納法屬于一知半解，能利用數學歸納法的步驟解題，但是始終認為數學歸納法結論得來的太突然，不能深刻理解數學歸納法中的遞推思想，也就是邏輯推理思想掌握得不夠透徹，這不符合現在所提出的高中數學學科素養。

二、 新舊教材中的數學歸納法

現在教材中所出現的數學歸納法都是第一類數學歸納法。

教材中對于數學歸納法一開始就直接說明是一種特殊的證明方法，主要用于研究與正整數有關的數學問題，然后從多米諾骨牌游戲開始啟發，引發思考，提出問題，這個游戲中，能使所有骨牌全部倒下的條件是什么？然后直接拋出了數學歸納法的證明步驟，接著通過大量的例題解答，使學生掌握了數學歸納法的步驟。而這樣的處理，學生確實掌握了數學歸納法的證明步驟，然而卻覺得結論來得太過于突兀，不能深刻理解到數學歸納法的遞推證明思想。

在九十年代的教材中，數學歸納法是由學習“第一項相同而第二項不同的若干個二項式的積”這一課題而引出的，而這一課題的目的又在于導出“二項式定理”這一重要內容，而后又將這一證明方法用之于等差數列和等比數列的通項公式以及求和公式的證明，甚至是排列、組合、復數、不等式的證明以及恒等式的證明等等。因此，在九十年代的課本中，數學歸納法是作為重難點知識講解的，而學生同樣學習這一章節的內容時感到困難，不易掌握其精神實質，或者不能熟練運用這一證明方法。

三、 數學歸納法的原理

數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法。

用數學歸納法證明命題的步驟：（1）歸納奠基，證明當n取第一個值n0（n0是正整數）時命題成立。（2）歸納遞推，假設k≥n+時，命題成立，推證當n=n+1時命題也成立。只要完成了這兩部，可斷定這命題對n0開始的所有正整數n都成立。雖然從表面上看，我們沒有就命題是否為真對所有的自然數一個一個加以驗證，但事實上對所有的自然數，通過遞推關系，自動都得到了驗證，而且每一次驗證，都是一次演繹推理。即這一步是由無數次演繹推理構成的。就像一條無窮的鏈子，環環相扣，每一環都是典型的三段論式的推理。

大前提：若P（k）成立，則P（k+1）成立；

小前提：若P（1）成立，

結論：則P（2）成立。并且同樣可以推出P（3）成立，這個過程自動延續直至無窮。事實雖然如此，但是無論哪個題目里，情況總是這樣，并無二致，因此每題無需重復以上過程，可以只用一句同樣的話由兩個步驟就可以完全概括了，而從不把它當作一個步驟，然后寫出經過歸納得出結論，整個遞推到這里就結束了。這就是教材中說數學歸納法只有兩個步驟的原因。但是卻不能忘記，這短短的兩句話里，不僅包含一個無限遞推的過程，而且數學歸納法的“歸納”不是在其他地方體現的，恰恰正是這里體現出數學歸納法中的“歸納”。我們的結論，是經過遞推無數次驗證之后，才歸納得到的。

四、 數學歸納法的教法

通過對教材的感知，現代對于數學歸納的教法是采用類比啟發探究式教學方法，以學生及其發展為本，一切從學生出發。在教師的組織啟發下，通過創設問題情境，激發學習欲望，師生共同探究多米諾骨牌倒下的原理，類比多米諾骨牌倒下的原理，探究數學歸納法的原理、步驟，進而給出例題，應用數學歸納法證明一些簡單的數學命題。要提高學生的應用能力，分析問題、解決問題的能力。既強調學生的主體性、主動性和平等性，也強調交流性、開放性和合作性。

五、 數學歸納法與高考

數學歸納法是離散數學的前提。考慮到專業受限，學生掌握程度不同，以2018年高考大綱為例，文科數學對數學歸納法并不做任何要求，對于理科數學則是理解數學歸納法的原理，能利用數學歸納法證明一些簡單的命題。

根據以往高考出現過的需要以數學歸納法證明題來說，都是并非多難，而是根據數學歸納法的步驟是可以解決的簡單命題。正如2010年江蘇卷理科23題。已知三角形ABC的三邊長都是有理數。（1）求證：cosA是有理數；（2）求證：對任意正整數n，cosA是有理數。

六、 數學歸納法教法建議

學生對數學歸納法很容易猜想到歸納結果，但是卻對證明過程望而卻步。其實這可以參照我們對函數單調性的證明方法，將無限的數化為有限的數去操作。在多米諾骨牌倒下的情景中也可以提出，若是從中抽出幾塊是否還能繼續倒下，或是如果不推到第一張骨牌，又應該如何去做？或者給出一個簡單數列{an}，a1=1，an+1=an1+an（n∈N*）求通項{an}，這個數列容易求出每一項，然后歸納出它的通項公式，但是卻不能以數列傳統的證明方法去證明，只能另辟蹊徑，此時教師再從旁協助，使學生理解到數學歸納法的原理，從而再去證明。

數學歸納法雖然近幾年并沒有出現在高考試卷中，但是考綱中并未將其刪除，所以不能以此忽略數學歸納法的學習，所以以數學歸納法原理為基礎的教學必然需要大力推廣。

參考文獻：

[1]周鴻照.數學歸納法的教材研究與教法建議[J].數學通報，1961（3）：12-13.

[2]徐淮.試談數學歸納法的實質[J].曲阜師范大學學報（自然科學版），1988（2）：10-11.

作者簡介：

張穎，四川省南充市，西華師范大學。