2017年高考數學天津卷壓軸題的高等數學背景

四川省成都市第七中學高二(10)班 (610000)

曾 偲

2017年高考數學天津卷壓軸題的高等數學背景

四川省成都市第七中學高二(10)班 (610000)

曾 偲

2017年高考數學天津卷壓軸題含有深刻的高等數學背景，即劉維爾(Liouville)不等式的背景.

題目(2017年高考數學天津卷理科壓軸題) 設a∈Z，已知定義在R上的函數f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在區間(1,2)內有一個零點x0，g(x)為f(x)的導函數.

(Ⅰ)求g(x)的單調區間；

(Ⅱ)設m∈[1,x0)∪(x0,2]，函數h(x)=g(x)(m-x0)-f(m)，求證h(m)h(x0)<0；

筆者在看到此題第3小問時，便覺得似曾相識，翻閱資料，最終在《微積分的歷程 從牛頓到勒貝格》[1]一書中找到了相關的描述，也即所謂的“劉維爾(Liouville)不等式”.十九世紀初的大數學家約瑟夫·劉維爾(JosephLiouville，1809.3.24—1882.9.8)向當時數學學科中一個難題發出了挑戰，即超越數的存在性. 所謂超越數，即那些不能表示為任何具有整系數的方程之解的數，反之則為代數數.在當時，超越數僅僅是被定義出來，其存在性尚未可知，而對于頗受關注的常數π和e，數學家們亦僅僅是猜測其具有超越性，但對此的證明均無法給出.劉維爾通過精心而巧妙的幾個步驟，構造并證明了數學史上第一個超越數.而劉維爾不等式，即是他解決難題的一個橋梁.

假定x0是一個無理數代數數.按照劉維爾的表示法，我們用

f(x)=axn+bxn-1+cxn-2+…+gx+h

表示它的次數最低的多項式，其中a,b,c,…,g,h∈Z，n≥2(如果n=1，那么x0顯然應該是一個有理數，這與假設內容不符)，從而：

劉維爾不等式如果x0是次數最低的整系數多項式函數

證明:這里給出一個較于劉維爾證明方法更簡單的替代方法.

對多項式函數f(x)求導，即f′(x)=naxn-1+(n-1)bxn-2+(n-2)cxn-3+…+g.

這個(n-1)次多項式在區間[x0-1,x0+1]上是有界的(多項式函數顯然連續，而連續函數在閉區間上必有界)，即存在實數A>0，使得f′(x)在[x0-1,x0+1]上以A為界，亦即對任意x∈[x0-1,x0+1]，有|P′(x)|≤A.

從上面的例子可以看出，所謂高考壓軸題，其一類創新方向不過是將現代數學基礎中一些理論或結論適當特殊化，并通過題目引導考生用高中方法對這些理論或結論進行處理. 若是考生能夠提前了解相關的背景知識，那么這些壓軸題便不再是難以逾越的鴻溝了.

特別致謝：本文得到何毅章老師的悉心指導！

[1][美]William Dunham著.李伯民,汪軍,張懷勇譯.微積分的歷程:從牛頓到勒貝格[M].北京：人民郵電出版社,2010.