三角換元技巧與三元函數最值

江蘇省泰州市蘇陳中學 (225300)

房園園

三角換元技巧與三元函數最值

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三角換元技巧是一種用三角函數代替問題中的字母，然后利用三角函數之間的關系而達到解題目的的一種代換方法，此法應用廣泛，本文僅就這種方法在求解三元函數最值問題中的應用，精選部分高考數學題為例說明如下.

一、解最大值問題

分析:考題為三元二次方程限定下，求三元分式的最值問題，解決本題通?？蛇\用換元思想，反用條件解題，但都較繁，然而根據條件，通過先配方，再利用三角換元技巧可簡明求得其解.

點評:本題考查的是三元函數最值的求法，它既是高中數學的難點內容，又是一道具有潛在價值的新穎題目.本題運用三角換元技巧求解，構思巧妙，別具一格，充分顯現了三角換元技巧在解題中的重要作用，其解法簡明流暢，令人贊嘆.

二、解最小值問題

分析:本題所求的最小值是關于分式的三元函數，難度大，然而通過變換與變形便能透過現象看本質，找到了三角換元求解就簡便了.

分析:本題為三元函數的最值問題，由于試題橫向入口較寬，縱向難度較大，綜合性和技巧性很強，因而學生感到很棘手.然而根據題設結構特征巧妙將已知條件變形，再運用三角換元技巧就可將三元函數轉化為三角函數來求最小值，從而解題就便利了.

點評:上述方法是從條件入手，通過配方，將已知條件三角化后代入目標函數，實現了將代數最值問題轉化為三角函數最值問題來處理.本題運用三角換元技巧法求解，不僅簡潔明快，解法流暢，而且能啟迪學生思維，提高解題速度，拓寬視野，符合新課程改革的理念，對于有效指導學生解題，激發學生的學習熱情，均頗有益處.

三、解最大值和最小值問題

例4 (2015年蘇錫常三市高考二模試題)若實數a，b，c滿足a2+b2≤c≤1,求a+b+c的最大值和最小值.

分析:本題如從已知條件入手求解，則很難，但從結論入手通過設a=rcosθ,b=rsinθ,則可聯系三角函數知識求得結果.此題設計精巧，根據題中條件的結構特征，利用三角換元思想解題可謂別具一格.

點評:本題屬于三元條件最值問題，直接用代數方法解較難.然而根據已知條件式子的結構特征，聯想三角換元，利用正弦函數有界性求得最大值和最小值.其解法思維自然，過程流暢，從而溝通了題設與結論之間的關系，使問題輕松得到解決.這種創新的思維流程，對于有效指導學生解題，激發學生的解題熱情，提高學生的解題能力，大有裨益.

從以上各例可以看出用三角換元技巧求高考最值問題，其關鍵是要從問題的背景出發，根據題設所求題目的結構特征經過合理的推理，探究出問題中隱藏的三角函數關系，列出符合題意的關系式，從而與代數有關知識聯系起來，以達到解題目的.

用三角換元技巧求解高考最值問題之所以具有新穎別致、獨特創新的靈活性和創造性，是因為在解題過程中往往容易找到題設和結論之間的關系，使原來抽象隱含的條件充分顯露出來，因而解題時，就能化繁為簡，變難為易.

[1]于志洪.應用三角換元法解高考最值問題.[J].數學通訊(下期)，2014(1).

[2]于志洪.應用三角換元法解競賽最值問題[J].數學通訊(上期)，2015(4).

[3]于志洪.代數法求最值十二曲[J].中學生理科應試.2013(4).

[4]于志洪，吳春勝.應用換元法解高考最值問題[J].中學生百科(高中學習).2013(3).