例談高中數學開放性問題的設計思路

陳波

[摘 要] 開放性問題在學生數學能力的發展中有著重要作用，但是實際教學中開放性的問題相對較少，這需要教師深度研究教學，設計出適應學生發展需要的開放性問題. 本文認為充分利用現有習題資源，從“變結構”“變視角”“變情景”等三個方面著手，可以將封閉性問題設計為開放性問題.

[關鍵詞] 高中數學；開放性問題；設計思路

開放性問題能有效地發展學生的能力，其作用一般體現在對問題的理解和認識層面上，即不追求統一化的分析，不設置統一化的結論，教師也不能輕易地否定學生的答案，這樣的問題為學生提供了可以自由探索、放開想象的空間，學生可以在這樣的情境中運用觀察、分析、想象、綜合、類比、歸納、演繹等手段，從多個角度來剖析問題，探求問題的解決. 然而在實際教學中，哪兒有那么多開放性的問題呢？這就需要廣大數學教師積極地發掘資源，設計開放性問題.

筆者認為，現有的習題資源可以有效地利用起來，教師對其適當地調整，即可將其改編為開放性的問題. 那些封閉式的問題都是命題教師將開放性的思維過程進行了過濾處理，而我們進行改編的過程就是要對其進行分解，研究問題的內在結構，探求命題過程中所體現的數學思想，進而將其改造成開放性問題，相關操作模式如圖1所示. 下面筆者結合實例談談具體的操作.

[?] 怎樣來“變結構”

所謂“變結構”就是對原有的命題進行推廣和類比，或是對命題的條件進行特殊化處理以得到新的形式，或者是將原命題改編成逆命題或否命題而得到的新形式.

例如，學生學習圓錐曲線時，有以下兩個比較典型的封閉性問題.

原題1：現有△ABC兩個頂點的坐標分別為點A（-6，0）和點B（6，0），且AC和BC兩條邊所在直線的斜率乘積等于-，求解頂點C的軌跡.

原題2：現有△ABC兩個頂點的坐標分別為點C（0，-6）和點B（0，6），且AC和AB兩條邊所在直線的斜率乘積等于，求解頂點A的軌跡.

問題分解：上述問題所涉及的對象都是兩個定點以及一個動點，其特征屬性在于定點與動點連線的斜率比較特殊，而最終的問題又都集中于動點的軌跡.

下面我們通過對上述問題的結構進行調整，進而將問題推廣為：設點A（-a，0），B（a，0），且a>0，現有動點P滿足讓直線PA和PB的斜率乘積等于m（m≠0），求解動點P的軌跡.

我們還可以對上述推廣問題進行逆向思考，由此形成問題：若曲線-=1（m≠0，a>0）上有某點P（x，y）（y≠0），現有兩個定點A（-a，0）和B（a，0），且a>0，證明直線PA和PB的斜率乘積等于m.

對上述逆向思考所構成的問題，我們還可以進行推廣，形成以下問題：若AB是經過-=1（m≠0，a>0）中心的任意一根弦，而某點P（x，y）位于該曲線上，且與A，B兩點不重合，證明直線PA和PB的斜率乘積等于m.

通過對原有問題進行逆向推廣研究，設計出新的問題，從而促進學生對圓、橢圓和雙曲線的概念、方程以及圖像形成較為統一的認識，并能在歸納和類比的基礎上體會對立統一的思想，進而幫助學生在類似問題的處理過程中形成結論和解決方法的猜想，并設法對猜想進行證明或否定，由此實現問題的最終解決，這也將成為學生探索數學認知的常用方法.

[?] 怎樣來“變視角”

所謂“變視角”就是將原命題中的定量研究轉換為定性研究，并由此形成新的解釋；當然也可以是將原命題中的抽象性研究轉變為形象化的模型并由此形成新的解釋；還可以從新方法或新概念出發，從新的視角更為全面地對已有認知產生全新的理解，等等.

在學生已經掌握了正弦定理和余弦定理之后，我們引導學生綜合運用這些關系來處理斜三角形的問題，而一些問題就可以通過“變視角”處理來增強問題的開放性.

問題分解：研究上述恒等式a2sin2B+b2sin2A=2absinC，我們可以發現等式的右半邊不就是原三角形面積的四倍嗎？如果在恒等式兩側同時除以4且運用二倍角公式，我們可以得到：bsinA·bcosA+asinB·acosB=absinC. 在△ABC中畫出AB邊的高CD，點D為垂足，若點D在AB邊的中間區域，則bsinA·bcosA，asinB·acosB分別對應△ACD和△BCD的面積，二者之和正好就是整個原三角形的面積.

對原有問題，我們可以改變研究的視角，從而設計出問題1：在△ABC中，以AB邊為底邊構建高CD，點D為垂足，若點D恰好在AB邊的端點上或位于AB邊的延長線上，你是否還能解釋a2sin2B+b2sin2A=2absinC的幾何意義？

當然還可以將上述問題進一步進行調整，由此形成問題2：在△ABC中，以AB邊為底邊構建高CD，點D為垂足，請結合△ACD和△BCD的面積關系，寫出一個有關于△ABC中六個基本元素的恒等關系式.

對于問題2，其開放性在于沒有規定兩個三角形面積之間具體的關系，可以是面積之比，也可以是面積之差. 但是問題實際研究的過程中，學生都可以從三角形底邊高的不同形式，具體一點就是垂足點D的具體位置來分類探討面積之間的等量關系，進而得出恒等式的證明. 當然，相關問題的解決思路也不唯一，學生也可以運用正弦定理和余弦定理通過“邊角互化”的方法來進行證明.

通過上述問題的分析，我們還可以發現采用數形結合的思想實現“以形助數，以數解形”，這將有助于復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而讓學生用形象思維來推動抽象思維的發展，這也有助于學生進一步把握數學問題的實質，它也是數學研究靈活性與規律性的統一. 通過上述開放性問題的設計，教師引導學生用嶄新的視角來重新審視他們所熟悉的問題，這對指導學生獲得更加新穎的發現有著顯著的指導意義.

[?] 怎樣來“變情景”

情景就是為數學問題發生的背景，聯系到當前數學教育所倡導的實踐性和創新性，我們可以將其理解為讓學生將所學的數學知識運用到真實的實踐活動之中，開展不同主題的研究性學習，而該項學習任務的真實性、實踐性也正是開放性問題教學所要實現的終極目的.

當學生已經學習過“平面向量的坐標表示”之后，筆者要求學生圍繞有關向量知識的學習，自主選擇和利用相應的學習資源，積極開展搜集、觀察、體驗、實驗、操作等實踐活動，并從中探索完整且具體的數學知識，形成相應的各項技能，并促成相關能力的發展. 而學生通過自主實踐活動充分訓練了他們的探究能力和建構知識的能力，他們的創新意識也得到了充分的發展. 現將幾個小組的活動內容簡介如下：

A小組的學生將平面向量的二維坐標表示方法拓展為多維向量的形式，他們不但對n維向量的運算法則進行了研究，還嘗試著運用n維向量的相關原理來表示某次體操比賽中6個裁判對運動員多次表演給出的平均分. 他們還以在超市購買商品為模型，運用n維向量的數量積對購買商品按照不同單價以及數量的總價進行表示. 在教師的引導下，他們還對矩陣以及運算法則進行自學，從而對自己原先的數學表達形式進行優化，對數學的簡潔美有了自己的感悟和體會.

B小組通過資料的查閱深度研究了向量積及其應用，他們從概念、運算法則等角度對向量積和數量積進行了對比和分析，并將向量積與物理學中的轉動模型聯系起來，從數學的角度來研究角動量定理和角動量守恒定律.

C小組直接將向量和物理學中的矢量放在一起研究，較為全面地分析了向量的概念以及運算法則在物理學中的運用，他們還寫了一篇小論文“向量與高中物理學習”.

還有幾個小組將向量與信息技術聯系起來，比如探討向量在GPS導航系統中的運用. 由于實踐活動本身就具有開放性，因此很多方法完全超出了教師的預設，也取得了讓人意想不到的成果.

教師在設計開發性問題時，必須要始終明確問題設計的初衷，即為了鼓勵學生積極切換研究的視角，調整研究的層次，從而更加全面地分析和探索問題，并借此尋找不同的答案. 開放性的問題應該讓不同層次的學生都能按照自己擅長的角度來審視問題，并由此感悟再生知識的方法以及建構知識的技巧，讓每一個學生都將因此獲得機會來展示自己、感受成功.endprint