問題結構化：從“木匠數學”走向“理性數學”

江蘇蘇州滄浪新城第二實驗小學 劉 瑋 施惠芳

劉 瑋江蘇省特級教師，中學高級教師，南京師范大學教育博士，江蘇省人民教育家培養工程培養對象，江蘇省人民政府教育督導團專家組成員。

多年來致力于小學數學教學理論與實踐研究、學校管理秩序的優化和學校內涵發展，主持多項省級以上教育科學研究課題。出版個人專著《小學數學理想課堂構建與探究》《小學生多元發展與和諧教育研究》。

問題結構化：從“木匠數學”走向“理性數學”

江蘇蘇州滄浪新城第二實驗小學 劉 瑋 施惠芳

學生理性思維品質、批判質疑意識和探索創新精神是學生核心素養的重要組成部分，也是小學數學深度教學的應然追求。以問題結構化為引領，讓學生完善結構型認知，經歷數學化過程，深化批判式思維，涵泳理性精神是實現深度教學有效的方法和路徑。

深度教學 問題結構 木匠數學 理性數學

數學教育家項武義先生曾用形象的比喻解釋中外古代數學教育的差異，他認為中國的古代數學教育多是“木匠數學”，而古希臘的數學教育則是“理性數學”。“木匠數學”多表現為實用性、實踐性數學知識、思想與方法，而“理性數學”則多表征為縝密的推理、概括與抽象，更突出數學的理性精神。《中國學生發展核心素養》指出，要讓學生擁有科學精神，必須注重培育學生的理性思維、批判質疑和勇于探究等品質。那么，如何在小學數學教學中實現從“木匠數學”走向“理性數學”的轉變，進而培養學生的理性精神呢？走出單一直覺與經驗教學的窠臼，以結構化的問題貫串教學，引領學生完善結構型認知，經歷數學化過程，啟迪批判式思維，涵泳理性精神，實施深度教學是促進學生理性思維發展的有效途徑，也是數學學科教學落實核心素養要求的行動應答。

一、“由點及面”地問，讓學生完善結構型認知

在小學數學教材中，知識編排常常散布于不同年段，學生習得的知識點往往以“散裝碎片”的方式貯存。唯有及時地盤點清理“信息碎片”，才能把相對獨立的知識點串成線、集成塊、連成網，從而促使學生經歷知識形成、層遞與發展的整個過程，形成結構性數學思考的方法體系。

“平面圖形的面積總復習”是六年級下學期的一節復習課。我們常見的教學設計往往是這樣的：通過提問，集中呈現小學階段學過的常見圖形，以及面積計算公式，然后讓學生在小組中進行交流，匯報面積計算公式的推導過程，從而溝通知識之間的內在聯系。反思這樣的設計，總感覺老師“牽”得太多，放得不夠。教師雖然有構建知識網絡的意識，但學生沒有經歷自主建構過程。特級教師賁友林曾執教過這節課，其獨特的教學設計讓筆者至今仍記憶猶新。課始，賁老師就拋出問題：“我們已經學習了一些平面圖形的面積計算方法，請思考我們為什么要先學習長方形的面積計算呢？”這樣的問題，可能是以往教師研讀教材時思考的問題，賁老師將此移植到數學課堂中，以這一思維含量極高的大問題組織學生討論，推動學生自主地把各個平面圖形的面積計算與長方形聯系起來，然后讓學生在討論的基礎上用畫圖的方式外化他們的想法，并在交流之后，將學生繪制的其中一種平面圖形面積計算關系圖旋轉180°，以此形象地呈現平面圖形面積計算的“知識樹”。

縱觀賁老師的教學，以“一問”引領“一課”，用一個核心問題串起平面圖形面積計算的整片知識，學生在“由點及面”的大問題引領下，自主建構知識網絡，在整體化的思考中促進學生深度學習的達成。

二、“由表及里”地問，讓學生經歷數學化過程

新知識來源于哪里，其與學生原有認知結構中的知識有著怎樣的實質性聯系？學生現在在哪里，要到哪兒去？這是兒童與新知相遇前老師必須厘清的問題。唯有從學生已有的學習經驗出發，引領其運用數學的方法觀察現實世界，溝通新舊知識之間的關聯，去分析、探究、概括，在追根溯源的“數學化”過程中經歷知識的發生過程，學生的思維才有發展的可能。

《用數對確定位置》是蘇教版數學四年級下冊的內容，主要包括規則的認識和用數對確定位置的方法，學生學起來比較簡單。通常教學的重點會放在對數對的認識與應用上，即比較關注“是什么”的教學，但這樣的教學未免顯得淺嘗輒止。其實，看似簡單的數學知識往往背后蘊含著深刻的數理。我們應該帶領學生突破表層，由表及里，實現對所學知識的深度理解。

課始，教師出示班級學生座位圖并提問：“這是班級的場景圖，想知道班長在哪里嗎？”順勢出示：班長的位置是第2排第5個。學生開始按照自己的理解與經驗尋找，老師組織學生討論自己的答案和采用的方法，結果出現了四種不同的答案，引發了認知沖突。老師繼而追問：“為什么同一個位置，大家卻找到了不同的人？”“每個人都有自己找班長的方法，但班長只有一個，那該怎么辦？”引發學生思考與討論，進而明確要“統一規則”。教師出示規則后再次讓學生“找班長”，對比提問：“剛才同一個位置大家找到了不同的班長，現在同一個位置全班都找到了同一個班長，這是什么原因？”

以上片段，老師在執教這一內容時，教學的重點從規則內容的學習轉至對規則的必要性與價值的體會上，即由關注“是什么”轉為關注“為什么”。圍繞“班長的位置在哪里”這一主問題展開，制造沖突，引發統一認識，并通過對比反思體會規則的價值，直入數學知識本源。

課中，教師又將班級場景圖抽象成點子圖，要求學生用第幾列第幾行的方式表示其中的某個點。接著提出要求：限時用第幾行第幾列的方法記錄1～8號學生的位置。然后組織交流，進而追問：“大家都會記卻記不完是什么原因？怎樣能又快又準確地確定位置？”學生自主創編記錄方法，進而提煉，最后達成共識。這一片段，圍繞“怎樣才能又快又準地確定位置”這一主問題，學生展開自主學習，經歷了發現問題、解決問題的過程，學生在創造的過程中不斷接近數對知識的本質。此時，學生完全是探索者和發現者，不僅完整經歷了數對的認識、理解與表達的過程，更深切地體會到了數對確定位置的簡潔與準確。

三、“由疑到證”地問，讓學生養成批判式思維

從數學學習的進程來看，數學思維的展開一般要經過兩個層級：第一個層級是基于數學信息的分析，產生沖動、困惑；第二個層級是依托信息之間的關系，思考解決問題的方法和策略。“學起于思，思源于疑”，疑惑或問題容易引起人的探究反射，當一個人對某一事物與現象產生疑惑的時候，思維的火花已經悄然生發。

蘇教版數學四年級中有這樣一道例題：四年級一班有22個男生，平均身高140厘米；18個女生，平均身高142厘米。全班學生的平均身高是多少厘米？這其實是一道求加上權平均數的題目，一些學生會認為只要用男生的平均身高加上女生的平均身高除以2來計算即可，這種錯誤認識在加權平均數的計算中非常普遍。對此，教師在教學時不是僅從正面強化訓練，讓學生對照“平均數=總數量÷總份數”進行列式計算，而是設計這樣的情境。如下圖，鼓勵學生多角度思考，用不同的方法算出平均每

組有多少個算珠，接著引導學生進行不同方法的比較，學生發現“（6+4）÷2”最為便捷。在之后解答“全班學生平均身高是多少厘米”這一問題時，學生出現了兩種不同的解法：（1）（140×22+142×18）÷（22+18）=140.9（厘米），（2）（140+142）÷2=141（厘米）。 兩個不同的答案，學生議論紛紛。教師抓住機會組織雙方展開辯論。一組用“平均數=總數量÷總份數”證明自己的思考正確，一組認為“把男、女生兩個平均數相加再除以2，就是全班學生的平均身高”，并以剛才“求平均每組算珠的個數”反詰，此時教師沒有做出評判，順勢說：“剛才大家都認為那是最便捷的方法，請觀察這兩幅圖，它們一樣嗎？”學生盯著那幅圖展開積極思考。一陣沉默后，學生終于“炸開”了：剛才兩種顏色算珠的組數是一樣的，都是3組，所以可以這樣算，但現在男女生人數是不一樣的，所以不能這樣計算。如果男女生人數相等就可以了。此時，教師對原題進行修改，女生由18人改成22人，再要求學生用自己的方法計算，結果列式不同，得數相同。此時學生領悟其中原委，只有當份數相同時才能用平均數求平均數。老師再次質疑：“不改變女生人數，全班學生的平均身高偏向于男生還是女生？”學生從實例中觀察發現男生人數多，答案偏向于男生的平均身高。

在整個學習過程中，教師多次設疑，反復質問，引導學生在比較反思中不斷接近真理、去偽存真。此過程不僅使學生知道求平均數的一般思考方法與特殊方法之間的關系，而且學會了在普遍性原理指導下，從特殊性出發靈活地解決問題，提高了解決問題的能力，學生思維在思辨中走向理性。

四、“由下而上”地問，讓學生涵泳理性精神

從“木匠數學”走向“理性數學”，需要從直覺、經驗走向理性，在教學中，我們要引導學生尋找充分的思維依據，對問題進行觀察、比較、分析、綜合、抽象，進而概括出數學的本質。合理而有梯度的問題，不僅有利于問題研究的展開，更有利于問題探索的深入。從具體的經驗和直覺之“形而下”的問題出發，走向理性思維之“形而上”的問題概括，是學生數學理性思維品質形成的必經過程。

例如，在復習“平面圖形的面積計算”時，引導學生對平面圖形面積計算的相關知識進行梳理后，我設計了以下幾組問題展開教學。

第一組問題：

問題1：觀察下面一組圖形，計算這四個圖形的面積，你有什么想法？學生自由闡述后，計算這四個圖形的面積。

問題2：它們的面積為什么會相等？如果要畫一個三角形，它的面積是平行四邊形的一半，你會怎么畫？

問題3：在你畫的這個三角形上，再畫一個和它等底等高但形狀不同的三角形，你會畫嗎？這些三角形形狀不同但面積相等，仔細觀察，你有什么發現？

基于此，討論：下圖A、B這樣的圖形面積相等嗎？

第二組問題：回顧作圖要求，畫一個面積是平行四邊形面積一半的三角形。

問題1：面積是平行四邊形的一半，只能是這些底4厘米、高6厘米的三角形嗎？

問題2：多想一想，就出現了這么多的情況。這些既不等底又不等高的三角形，面積怎么就相等呢？

第三四組問題：

問題1：仔細觀察，這個三角形和梯形，面積相等嗎？為什么？（如圖1）

圖1

圖2

圖3

動畫演示：梯形上底縮短一格，同時下底延長一格。（如圖2）

問題2：仔細觀察，現在的圖形與原來相比，有什么聯系？

繼續動畫演示：上底縮短一格，同時下底再延長一格。（如圖3）

問題3：想象一下，這樣繼續下去會怎樣？

根據學生回答，動畫演示：梯形上底縮為一點，下底延長，成為一個三角形。

問題4：你是怎么知道這個三角形和原來的梯形面積相等的？此問題意在讓學生知道求梯形面積并不是一定要轉化成平行四邊形再來推導，我們也可以把梯形轉化成三角形，再根據三角形的面積計算公式來推導。此后，教師介紹《九章算術》中梯形計算面積公式的推導過程。

以上四組問題，其涵蓋了三個維度的指向：第一維度指向于“橫向數學化”，著力于讓兒童已有的數學經驗與新的數學知識發生關聯；第二維度指向于“縱向數學化”，著力于讓兒童的數學思維生成、重塑與再發展，從而建立起數學知識之間的聯系；第三維度則指向“橫向數學化”與“縱向數學化”的融通，著力于知識的系統化建構。

深度教學是讓兒童深度參與教學過程、深刻掌握學習內容的教學。“深度參與教學過程”旨在實現兒童與教材、兒童與教師之間全面而充分地交流，其是深度教學的過程性特征；“深刻掌握學習內容”是指兒童實現自身已有經驗與所學內容的深度融合，其是深度教學的結果性特征。“問題結構化”則是一種“橋梁”，它使學習者與教學過程、學習內容實現了深度契合式的相遇。至此，我們不僅僅給予了學生“木匠數學”的直覺與經驗，還給予了學生“理性數學”的分析歸納、批判質疑和系統思考。?

[1]鄭毓信.以“深度教學”落實數學核心素養[J].小學數學教師，2017（9）.

[2]劉瑋.回到數學本身：讓兒童在思考中學習——核心素養視域下兒童數學思考的教學建構[J].小學數學教與學，2017（8）.

[3]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4]崔允漷.追問“核心素養”[J].全球教育展望，2016（5）.

[5]鐘啟泉.“核心素養”賦予基礎教育以新時代的內涵[J].上海教育科研，2016（2）.

[6]羅祖兵.深度教學：“核心素養”時代教學變革的方向[J].課程·教材·教法，2017（4）.