多產品生產計劃與非周期預防維修整合優化模型

劉學娟，趙 斐，馬曉洋

(1. 北京科技大學東凌經濟管理學院，北京 100083；2. 東北大學秦皇島分校管理學院，河北 秦皇島 066004)

多產品生產計劃與非周期預防維修整合優化模型

劉學娟1，趙 斐2，馬曉洋1

(1. 北京科技大學東凌經濟管理學院，北京 100083；2. 東北大學秦皇島分校管理學院，河北 秦皇島 066004)

本文將離散制造業生產計劃問題與生產設備的非周期預防性維修相結合進行研究，在有限的生產計劃期中包含若干個等長度的時段，各個時段中都有需要被滿足的多種類的產品需求量，并將每個時段的末期作為可選的預防性維修窗口，利用實際的設備運行時間計算設備維修對生產能力的占用。計劃期內生產和維修的費用包括：生產費用、庫存費用、延期交貨費用、設備調整費用和設備維修費用，以最小化這些費用的總和為目標建立整合模型并進行優化，確定最優的生產計劃及設備預防性維修序列。并運用數值案例對所建立的模型進行應用分析。

生產計劃；庫存；預防性維修；延遲時間

1 引言

在現代生產企業中，生產部門和維修部門是兩個獨立的部門，生產部門按照企業現有的生產能力及產品需求等制定生產計劃，維修部門通過一系列的維修手段保障生產設備的正常運轉。分別針對生產計劃和設備維修兩個方面的研究已經有很多的成果，但是，生產計劃方面的研究多數未考慮設備的可靠性，而是假定設備一直處于正常運轉的狀態[1]，在這種情況下，一旦設備發生故障，會造成客戶訂單延誤、影響交貨期等不良后果；設備維修方面的研究主要利用設備的使用時間、設備的狀態檢測等參數制定維修計劃[2]，但并未考慮維修對生產進程的打擾及對生產時間的占用，且容易發生維修不足或者過度維修等情況，影響設備的使用壽命，給企業造成一定的經濟損失。所以，如果安排不合理，生產部門和維修部門在設備的使用方面會產生沖突，為避免沖突發生以及消除不良影響，將生產計劃和設備維修整合進行研究是非常有必要的。

目前國內外針對設備維修和生產計劃的整合研究主要分為三個方向：一個方向為側重于連續式生產的經濟生產批量與設備維修整合研究[3-4]；一個方向為側重于離散式生產的中期生產計劃與設備維修整合研究[5-6]；還有一個方向為短期生產排程問題與設備維修的整合研究[7-8]。本文主要針對離散式中期生產計劃(以下簡稱生產計劃)與設備維修的整合問題展開研究，Weinstein和Chung[9]最早在此方向進行了研究，他們將研究分為了三個階段，前兩個階段先對生產計劃建立模型，在最后一個階段才考慮設備維修，主要側重點還是在生產計劃層面，后來，此研究被Aghezzaf等[10]進行了擴展，即在生產計劃初期就將設備維修整合進去，生產及維修兩部分計劃處于同等重要的地位，在生產計劃期內建立生產計劃和設備維修的總費用模型并進行優化，其中，設備的預防性維修為周期性的，即每個預防性維修區間的長度相同；劉學娟和趙斐[5]研究了基于延遲時間理論的周期性預防維修與生產計劃的整合問題；Fitouhi和Nourelfath[11]在Aghezzaf[10]的基礎上建立了非周期的設備預防性維修與生產計劃的整合模型，即不僅僅考慮區間長度相同的預防性維修，而是將所有可能的預防性維修序列都進行研究；隨后，Fitouhi和Nourelfath[12]將Fitouhi和Nourelfath[11]的整合研究由單一設備的單工序生產擴展到了多設備的多工序生產，Nourelfath等[13]也對多工序生產計劃和設備維修的整合問題進行了研究并利用遺傳算法對模型進行了優化運算。以上研究在計算每個時段內由于設備維修所產生的停工時間時，都假定設備在整個時段內都是運行的，但實際上在每個時段內設備真正的運行時間要少于時段的長度；所以，基于上述研究，本文進一步研究單設備非周期性預防性維修與生產計劃的整合問題，并基于設備實際的運行時間計算由于維修活動所產生的停工時間，確定各時段內可真正用于生產的時間長度，建立由生產費用、庫存費用、延期交貨費用、設備調整費用及設備維修費用構成的總費用模型，并通過模型優化，得到最優生產計劃及維修序列。

本文所涉及到的設備維修知識，運用國際維修界著名的延遲時間(Delay-Time)理論來描述，該理論最早由Christer和Waller[14]提出并首次應用于解決生產線檢修問題[15]。延遲時間理論把設備的故障過程分為兩個階段：正常運行階段及缺陷運行階段，設備有正常、缺陷和故障三種狀態。從正常狀態到設備發生缺陷為設備的正常運行階段，從設備發生缺陷到設備故障為缺陷運行階段，這一階段的時間長度為延遲時間，若在延遲時間內對設備進行檢測，則可發現設備的缺陷并進行維修，避免故障的發生[16]。延遲時間理論主要應用于建立單部件系統[17-18]和復雜系統的檢測模型[19-20]，并被有效的應用于實際案例的維修建模中[21-22]。單部件系統僅含有一種故障模式，通常指由單個部件組成的系統或復雜系統中的一個子系統，如電池組、小型電機等；復雜系統通常由多種部件組成并且有多種故障模式，如電力系統、航空系統、軍工系統等。本文中的生產設備指的是復雜系統,在應用延遲時間理論確定生產設備的檢測間隔期時，可以根據缺陷到達過程的情況以及延遲時間的分布情況，求解得到一定時期內生產設備發生的缺陷個數以及故障個數，通過最小化檢測間隔期內相關費用為決策目標，求得最優檢測間隔期[5]。

綜上所述，本文的創新點為：1)不同于已有研究中將生產時段長度近似作為設備運行時間的計算方法，本文根據設備的實際運行時間計算設備維修對生產時間的占用；2)運用兩階段的延遲時間理論建立設備維修模型；3)考慮非周期的預防性維修情況，使更多的維修序列可被選擇。將以上三個方面綜合在一起建立設備維修與生產計劃的整合模型，更細致和精確的將整合問題進行研究，這在以往的研究中尚未涉及到。

2 模型符號說明、假設及問題描述

2.1 符號說明

表1 模型參數

表2 決策變量

2.2 模型假設

1)設備缺陷的到達過程為齊次泊松過程(Homogeneous Poisson Process，HPP)；

2)延遲時間獨立同分布；

3)預防性維修是完美的可將設備更新；

4)設備故障采用小修的方式處理，即只維修故障部件；

5)設備調整方式為序列不相關的(Sequence-independent).

說明：假設條件1)和2)在以往延遲時間相關的研究中經常用到，假設條件1)中，除了齊次泊松過程，設備的缺陷到達還可以用非齊次泊松過程來描述，在本文暫不考慮非齊次泊松過程的情況；除了完美維修，還有非完美維修的情況，假設條件3)說明本文選擇了其中一種維修情況；假設條件4)在實際中經常發生，之所以采取小修的方法，主要是為了不耽誤太多的時間，盡可能的減少對生產過程的干擾[23]；關于假設條件5)，設備的調整方式主要有兩種情況，序列相關(Sequence-dependent)和序列不相關，序列不相關即設備的調整不考慮不同產品之間的關系，只考慮當前所生產的產品，適用于不同產品之間設備調整關聯性不大的情況，序列相關即考慮生產排序，適用于不同產品之間的設備調整有一定關聯性的情況，如從產品1到產品2的設備調整費用不等于從產品1到產品3的設備調整費用，這時就要考慮生產排序[24]。本文選取其中一種情況即序列不相關的設備調整方式進行研究。

2.3 問題描述

生產計劃和設備維修的整合情況如圖1所示，生產計劃期的長度為H，共包含Z個長度為T的時段，τj表示時段j末的時間點。預防性維修(Preventive Maintenance, PM)在某些時段的末期完成，具體選擇哪些時段末期進行預防性維修需要通過計算做出決策，在設備運行的過程中，也可能產生故障性停機，這時，基于假設條件4)，對設備采用小修處理，和實際的生產時間相比較，設備維修對時間的占用要小很多，所以設定各個時段內的故障性小修和預防性維修都可在本時段完成。由于本文研究的是非周期預防性維修，所以預防性維修區間長度不再相同,為了使生產計劃期結束設備處于更新狀態，設在生產計劃期末(圖1中τZ時刻)總會進行預防性維修。

在各個時段內，有不同產品的需求量(dij)需要被滿足，每個時段內可能生產一種或者多種產品。但可用的生產時間是有限制的，整個時段的長度并不能全部被用作生產，其中，設備維修和設備調整都會占用一定的時間，用時段的長度減去這部分被占用的時間，剩余的時間是生產活動可用的最大時間。原則上各時段內某種產品的需求量應該由本時段內該產品的生產量以及上一時段該產品的庫存量來滿足，但由于生產時間的限制，有時還會產生需求量不能被滿足的情況，即延期交貨的情況，此時又會產生延期交貨費用。

綜上可見，各個時段內可能包含的費用有生產費用、庫存費用、延期交貨費用、設備調整費用和設備維修費用，將各時段內的費用加總形成生產計劃期內的總費用。本文通過對整合的費用模型進行優化(總費用最小)確定各時段內生產什么產品，產品的產量，以及最優的設備維修序列。

圖1 生產計劃和設備維修整合策略圖示

3 模型建立

3.1 生產能力模型

(1)

同理，[0,z1T]內第2個時段到第z1-1個時段內的生產能力可表示為：

(2)

(3)

由假設條件3)可知設備在z1T被更新，所以，后面每個維修區間內各個時段的生產能力與公式(1)-(3)的推導過程類似，在此不再贅述。

3.2 維修費用模型

(4)

類似地，可以得出其他預防性維修區間內的期望維修費用，且在2.3節中提出，計劃期末會進行預防性維修，所以，這些維修區間就構成了整個生產計劃期，假設生產計劃期內共K個預防性維修區間，則生產計劃期內總的期望維修費用為：

(5)

3.3 整合模型

基于上述生產能力模型及維修費用模型的推導，可建立生產計劃和設備維修的整合模型如下：

(6)

s.t.Iij-Bij=Iij-1-Bij-1+xij-dij

(7)

(8)

(9)

yij∈{0,1}

(10)

xij,Iij,Bij≥0

(11)

通過對上述整合模型進行求解，可以得到生產計劃期內最優的生產計劃及設備維修計劃。下面對模型求解進行說明：

首先,要將所有的維修序列列舉出來，如只維修一次的情況即在生產計劃期末進行維修，維修兩次的情況是除了在生產計劃期末維修以外，再選擇一個時段末期作為維修點，如此將所有兩次維修的維修序列進行列舉，以此類推，直到所有的時段末期都作為維修點。這種枚舉法在實際中是適用的，因為在生產運作過程中，整個生產計劃期內所包含的時段數量不會太多，如半年包含六個月，一個月內包含四個星期?？蛇x的維修序列可以依次列舉出來。

然后,對每個維修序列，結合本節所建立的模型進行運算。整合模型(6)—(11)為非線性規劃形式，其中，目標函數中的EC(m)和公式(9)中的Lj為非線性形式。整合模型可通過Lingo和Matlab等數學軟件求解，本文采用Matlab-2012進行求解，運用Matlab軟件中的fmincon函數，結合目標函數fun_objective以及非線性部分的fun_nonlinear函數進行運算，求解得到相對應的維修序列情況下總費用的最小值以及生產計劃。

最后，每個維修序列都對應一個最小總費用值以及相應的生產計劃，從中選擇出最小的總費用為最優解，相對應的維修序列和生產計劃分別為最優維修序列和最優生產計劃。

4 數值案例

本節對所建立的整合模型進行數值案例分析。假設延遲時間服從參數為α的指數分布，此假設在以前很多延遲時間的案例研究中使用，并被用實際數據及仿真的方法驗證了其合理性[16,25]。案例的其他數據來自于我國某鋼鐵廠鋼格板的生產設備，此設備主要生產兩種類型的鋼格板，即n=2，產品的單位為‘噸’，選取了兩種產品一個季度的需求量，見表3，每個時段的長度為一個月，即T=30天(本文的時間單位為‘天’)，其他時間和費用參數取值見表4，其中費用單位為‘元’。另外，設備的缺陷到達率λ=0.072, 延遲時間所服從的指數分布參數α=0.084。

表3 各時段產品的需求量

表4 時間和費用參數取值

由于本文整合模型中預防性維修為非周期性的，所以，生產計劃期內可選的預防性維修序列一共有八種，分別為：計劃期內維修一次的情況(序列為：τ4)，計劃期內維修兩次的情況(序列分別為：τ1τ4，τ2τ4，τ3τ4)，計劃期內維修三次的情況(序列分別為：τ1τ2τ4，τ1τ3τ4，τ2τ3τ4)，計劃期內維修四次的情況(序列為：τ1τ2τ3τ4)，其中包含三種周期性的預防性維修序列，分別為：τ4，τ2τ4，τ1τ2τ3τ4。分別對以上八種預防性維修序列，利用相關參數取值以及公式(1)—(11)，求解出計劃期最小總費用，如表5所示，可見，預防性維修序列τ1τ3τ4為最優選擇，對應的最小費用為7.7098e+006，最優生產計劃見表6。

表5 不同維修序列及所對應的最小維修費用

從表6可以看出，I1j=0,B1j=0,I21≠0以及B22≠0，庫存和缺貨狀態都發生在產品2方面，這是由于在參數值設置時h1>h2和b1>b2所造成的。為更清晰的了解這一情況，可對單位庫存費用進行敏感性分析，經計算可知，當h1=70和h2=65，且其他參數不變時，依然為產品2發生庫存，庫存量為I21=3；當h1=60，h2=70以及h1=65，h2=75兩種情況下,其他參數值不變時，均可得I11=2.9，如表7所示，即庫存狀態已轉移到庫存費用較低的產品1上。綜上，可見庫存的狀態始終存在于庫存費用較低的產品上。

表6 PM序列為τ1τ3τ4時的最優生產計劃

表7 h1

在此數值案例中，最優預防性維修序列為τ1τ3τ4，為非周期性的，且由表3可以看出，非周期性預防維修比周期性預防維修有更多的可選序列，所以，在預防性維修中，考慮非周期性的情況要優于僅考慮周期性的情況。

5 結語

本文對離散型生產計劃與設備的非周期性預防維修進行了整合研究，建立了生產計劃期內的總費用模型，并通過實際案例對模型進行了運算，得出了最優生產計劃以及最優預防性維修序列。此整合模型可應用于離散制造型企業的設備維護和需要確定生產批量的中期生產計劃中，由于生產設備在生產運轉過程中也需要進行維修管理，為避免運用設備進行生產和對設備進行維修兩項活動的沖突，運用整合模型同時優化維修和生產計劃，可使企業減少由于沖突造成的生產中斷、延期交貨以及維修不當等所帶來的損失。另外，由本文案例可以看出，非周期性維修序列包含周期性維修序列，且有更多的序列可供選擇，相對來講在應用中更有優勢。當然，本文的研究還有可擴展的空間，1)設備維修不僅僅包含本文中用到的小修和預防性維修等方法，還有其他更多更復雜的維修方法，可進一步在整合模型中考慮更精確更復雜的設備維修；2)在生產序列方面，本文研究的是序列不相關的設備調整方法，這是設備調整的一個方向，也可以考慮另外一個方向，即對生產進行排序，考慮序列相關的設備調整；3)本文的設備維修時間是以各時段末作為可選窗口，也可以考慮選擇設備調整點作為維修的可選窗口，等等。通過擴展研究，可使整合模型更精確和更貼合實際。

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Joint Optimal Multi-product Production and Non-cyclical Preventive Maintenance Planning Model

LIUXue-juan1,ZHAOFei2,MAXiao-yang1

(1. Donlinks School of Economics and Management, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China， 2. School of Management, Northeastern University at Qinhuangdao, Qinhuangdao 066004, China)

The production and maintenance activities share the same system in reality, so the conflict is inevitably generated. If the arrangement of the production plan and the maintenance schedule are not reasonable, the shortage of the products and the improper maintenance (inadequate maintenance or excessive maintenance) may occur. To avoid this negative influence, the integrated model of the production planning problem of discrete manufacturing industry and non-cyclical preventive maintenance is proposed in this paper. The finite production planning horizon is composed of several equal-length periods. in each period, the demands of multi product should be satisfied by the production quantity in this period and the inventory of last period, otherwise, the backorder will happen. The non-cyclical preventive maintenance can be carried out at the end of some production periods, and the minor repair is used to deal with system failures. The occupation of production capacity is composed of maintenance and system setup. In each period, the time can be used to product is equal to the length of the period minus the maintenance and setup time, and the actual running time of system is used to formulate the failure numbers. Furthermore, the maintenance time of failure can be presented. Then′ the integrated production and maintenance model is developed in the form of mathematical programming. The objective of the model is to determining the optimal production panning and preventive maintenance sequence that minimizes the sum of the production cost, inventory cost, setup cost and maintenance cost. Based on the production data of steel grating gathered from a steel facility, a case study is presented to illustrate the integrated model, the optimal production plan and the optimal maintenance schedule are determined simultaneously. Moreover the result shows that the optimal maintenance schedule is not cyclical, since the non-cyclical maintenance policy presents more maintenance sequences than that presented by cyclical maintenance policy.

production planning; inventory; preventive maintenance; delay-time

1003-207(2017)11-0189-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.11.020

F272

A

2016-05-09；

2017-04-16

國家自然科學基金資助項目(71601019，71231001)；中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助項目(FRF-TP-16-007A1)；中國博士后科學基金項目(2017M610049)；教育部人文社會科學研究項目(No.16YJC630174)

劉學娟(1982-)，女(漢族)，河北滄州人，北京科技大學東凌經濟管理學院，講師，博士后,研究方向：生產運作管理、系統可靠性管理，E-mail: liuxj@ustb.edu.cn.