應(yīng)用數(shù)學(xué)方法處理物理問題

摘 要：運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決一些典型的物理問題，是進(jìn)一步深化理性思維、培養(yǎng)分析及解決問題能力的需要，也是物理教學(xué)應(yīng)該要注意學(xué)科之間聯(lián)系的要素。由此可見，數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)習(xí)中一樣適用。那么如何運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題，使物理學(xué)習(xí)變得更有效呢？文章對(duì)此問題進(jìn)行了探究，希望能為物理教學(xué)提供有益的借鑒。

關(guān)鍵詞：初中物理；數(shù)學(xué)方法；物理問題；教學(xué)探究

在分析、解決物理問題的過程中，嚴(yán)謹(jǐn)、巧妙地應(yīng)用數(shù)學(xué)方法處理問題是理性思維的一個(gè)重要方面。在高考《考試說明》中明確提出要求考察應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力，要求能夠根據(jù)條件列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果寫出物理解證；必要時(shí)能使用幾何圖形、函數(shù)圖象進(jìn)行表達(dá)、分析。下面通過幾個(gè)典型問題的求解來探索其應(yīng)用特點(diǎn)。

一、利用三角形相似關(guān)系求解

例1，如圖1：A球固定，B球用一根絕緣細(xì)線懸于A球的正上方，由于A、B兩球帶同種電荷，被排斥開，為了使A、B球間的距離變?yōu)樵瓉淼囊话耄刹捎玫姆椒ǎ?/p>

A. 其他條件不變，將A、B兩球的電量同時(shí)減半

B. 其他條件不變，將其中一個(gè)球的電量變?yōu)樵瓉淼乃姆种?/p>

C. 其他條件不變，將其中一個(gè)球的電量變?yōu)樵瓉淼陌朔种?/p>

D. 其他條件不變，將B球的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼陌吮?/p>

分析：此題看似簡(jiǎn)單，但解題思路要求比較新穎，當(dāng)B球先后在兩個(gè)不同的位置上時(shí)，分別形成兩個(gè)平衡力系，由平移平衡力系各力組成封閉圖形，再由三角形相似原理求解。

解：∵△mg.F1.T1～△OAB

∴■=■=■…（1）

∵△mg.F2.T2～△OAB'

∴■=■=■…（2）

又∵OB=OB' AB'=■AB

∴由（1）（2）知T1=T2

F1=2F2■k■=2k■■Q1Q2=8Q1'Q2'

知A、B錯(cuò)而C對(duì)。

當(dāng)m'=8m時(shí)，由（2）得：

■=■=■=■■■=■

比例式成立，故D對(duì)。

例2，試證明：當(dāng)視地球?yàn)橐粍蛸|(zhì)球體時(shí)，在地面下距地面越深，其重力加速度g的值越小。

證明：不考慮地球自轉(zhuǎn)，設(shè)地球半徑為R，質(zhì)量為M，對(duì)某一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)p，在地球表面有G■=mg，g=G■。

如圖2，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)置于地面下某一深處與地心距離為r（r

推證如下：對(duì)r-R球殼，設(shè)球環(huán)面密度為σ，將兩小部分球面視為兩圓錐底面。質(zhì)點(diǎn)到兩圓錐底面中心的距離為R1、R2。

兩圓底面的半徑為r1，r2，則由萬有引力定律，兩圓底面對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為：

F1=G■=G■…（1）

F2=G■=G■…（2）

根據(jù)相似三角形原理，如圖3

∵■=■ ∴■=■

同理■=■=■=■…（3）

把（3）式代入（1）、（2）式，得F1=F2，即兩部分地殼對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力相互抵消（平衡）。以此類推，P點(diǎn)以上的外殼與P點(diǎn)以下的外殼的萬有引力均互為抵消，故P點(diǎn)只受到以r為半徑的地心球體對(duì)其萬有引力的作用。

G■=mg'，G■=mg'，g'=G■，∵P=■

代入得g'=■r，故r越小，則g'的值越小，即離地心越近的地方其重力加速度越小。

相似三角形相似比關(guān)系與物理原理綜合運(yùn)用，使看似復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，并能找到破解問題的蹊徑。

二、利用函數(shù)關(guān)系或其他代數(shù)方法進(jìn)行極值判斷

利用對(duì)二次函數(shù)的配方法或其函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)（-■，■）和開口方向或利用其他代數(shù)方法進(jìn)行極值判斷。

例3，試證明：在完全非彈性碰撞中其動(dòng)能損失最大。

證明：設(shè)質(zhì)量為m1、m2的小球在光滑水平面上分別以速度v1、v2對(duì)心相碰，碰后速度分別為v1'、v2'，則由動(dòng)量守恒定律可得：m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'=P …（1）

碰后可能的動(dòng)能損失為：△Ek=Ek-Ek'

△Ek=（■m1v12+■m2v22）-（■m1v1'2+■m2v2'2）…（2）

（此項(xiàng)是一定的） （只有此項(xiàng)最小則│△Ek│最大）

∴Ek'=■m1v1'2+■m2v2'2 又由（1）得：

v1'=■

△Ek'=■m1·■+■m2v2'2

=■[v2'2-■v2'+■]

令A(yù)=■，B=■，C=■

∴Ek'=A（v2'2-Bv2'+C）=A[（v2'-■）2+C-（■）2]

僅當(dāng)v2'=■時(shí)，即v2'=■=■時(shí)，Ek'為最小

v1'=■=■=■=■=v2'

碰后只有當(dāng)v1'=v2'即完全非彈性碰撞時(shí)，動(dòng)能損失△Ek才最大。

例4，一帶正電的質(zhì)點(diǎn)P放在A、B兩個(gè)帶電量相等的負(fù)點(diǎn)電荷電場(chǎng)中，位于A、B連線的垂直平分線上的C點(diǎn)處（如圖4所示）。假設(shè)質(zhì)點(diǎn)只受電場(chǎng)力作用，若將P由靜止釋放，則它的運(yùn)動(dòng)情況是怎樣的？

分析：設(shè)AB間距為2a，A、B在C點(diǎn)處所產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)為E，則由點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算E=k■。

E=2k·■·cosα=■sin2α·cosα

令t=sin2α·cosα，則t2=■sin2α·sin2α·2cos2α

∵sinα，cosα為正值

∴a·b·c≤（■）3

由定和求積原理知，只有a=b=c時(shí)，a·b·c才有極大值，即t才有最大值，最大值的條件是：

sin2α=2cos2α■tgα=■ sinα=■ cosα=■

即P在AC直線與中垂線成α=arctg■角時(shí)所受的電場(chǎng)力最大，故P將在O點(diǎn)附近振動(dòng)（作變加速運(yùn)動(dòng)，在O點(diǎn)時(shí)速率最大，加速度為零）。

數(shù)學(xué)手段的應(yīng)用，使看似模糊的問題有了清晰的判斷結(jié)果。

三、建立正確反映物理過程的數(shù)學(xué)模型求解

例5，一人通過一個(gè)動(dòng)滑輪用恒力F拉動(dòng)物體A，F(xiàn)與水平地面夾角為θ，如圖5所示，一切磨擦力不計(jì)，當(dāng)物體A被拉動(dòng)向右移動(dòng)距離S的過程中，人的拉力所做的功為多少？

解：當(dāng)物體被拉動(dòng)S時(shí)，F(xiàn)作用于繩端，從A位置拉至B位置，用A'B=AA'=S

△AA'B為等腰三角形，SAB=2S·cos■

F與SAB的夾角為■

故F所做的功W=F·SAB cos■=F·2Scos2■

∵cosθ=2cos2■-1

∴W=FS·2cos2■=FS（1+cosθ）

所以，大膽地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)模型會(huì)有意想不到的收獲。

總之，物理教師要懂得運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法來指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，將抽象的物理問題簡(jiǎn)單化，如此物理難題便可迎刃而解。