數學中考探索規律題型的解題策略

縱觀近幾年的中考數學填空壓軸題，可以發現探索規律類試題備受青睞，因為此類試題能比較系統地考察學生的邏輯推理能力，以及運用所學知識和方法分析、解決數學問題的能力，還能讓學生在解題過程中感受數學文化、拓寬數學視野，提升數學修養。根據《數學課程標準》中“在評價中設置一些探索題與開放題，以更多地暴露學生的思維過程”的理念，試題不斷突破傳統模式，視角新穎，綜合性強，結構獨特，區分度明顯，探索規律題型正符合這一特征，逐步成為中考的又一個亮點，同時也成為中考得分的一個難點。

探索規律型問題指的是根據已知條件或所提供的若干個特例，發現題目所蘊含規律與特征的一類探索性問題。通常情況下，規律是指變量的變化規律，而這些變量通常按照一定的順序呈現，呈現過程又與序數（n）緊密聯系在一起。因此，把變量和序數（n）放在一起加以類比，就比較容易發現其中的奧秘。下面通過考題說明此類題型的解題策略。

一、探索數列的變化規律

例1. 古希臘數學家把數1，3，6，10，15，21… … 叫做三角形數，它有一定的規律性，若把第一個三角形數記為a1，第二個三角形數記為a2，…，第n個三角形數記為an，計算a2-a1，a3-a2，a4-a3，…，由此推算，a100-a99= ，a100= 。

解題思路，這是一組有規律的數列，首先給這組數編上序號，①1，②3，③6，④10，⑤15，⑥21… …，觀察相鄰兩個數的關系，可以得出第②個數比第①個數多2，第③個數比第②個數多3，依此類推，可以猜想出規律：第n個數比第（n-1）個數多n。如何用代數式表示這個規律呢？也就是要求第（n）個數是多少？這時用前面找到的規律，先列出前面幾個數的規律關系：第②個數可以表示成①+2，第③個數可以表示成②+3，… … 這是相鄰兩個數與序數（n）的關系，列式時最好把這些式子列成豎排，方便進行類比。通過上、下式子的比較，再把每一個數進行分解，相信到第④或⑤個數時，就可以很輕松的用含序數（n）的代數式表示規律了。有的學生規律找對了，但式子列錯了，怎么辦了？為了避免規律發現但列式錯誤，最好的辦法就是用特殊值代入歸納得出的代數式中去驗證，當n=1、2、3時，求第①、②、③個數，看是否與已知相符，如果相符就正確，不相符就錯了。

① a1=1

② a2=1+2=3

③ a3=3+3=1+2+3=6

④ a4=6+4=1+2+3+4=10

⑤ a5=10+5=1+2+3+4+5=15

… … …

（n）an=1+2+3+4+5+… …n=

所以 ， ， 。

本題以三角形數列為背景，是純數字的探索規律題，考察了公式 的靈活運用。通過對本題的探討，我們可以得出解探索規律型問題的關鍵是找出變量的變化規律，基本策略是用“觀察 → 猜想 →類比 →歸納 → 驗證”的思想方法，從特殊到一般，用序數①，②，③…（n）把數字的變化規律用含序數（n）的代數式表示出來，再從一般到特殊，驗證代數式表示規律的正確性，這樣大大提高了學生解題的成功率。

二、探索圖形的變化規律

有些探索規律題以圖形的變化規律呈現，題目看上去有點長，圖形變化復雜但有趣。只要認真審題，分析圖形的形成過程及變化的趨勢，把其中主要的、關鍵的內容找出來，通過類比，可以發現圖形的相同點和不同點，通過數形結合的數學思想方法，更容易找到圖形的變化規律，這樣題目的難度就會大幅度降低，問題也就容易解決了。

例2.有若干張邊長都是2的四邊形紙片和三角形紙片，從中取一些紙片按如圖所示的順序拼接起來（排在第一位的是四邊形），可以組成一個大的平行四邊形或一個大的梯形。如果所取的四邊形與三角形紙片數的和是5時，那么組成的大平行四邊形或梯形的周長是______ ；如果所取的四邊形與三角形紙片數的和是n，那么組成的大平行四邊形或梯形的周長是________ 。

解題思路，根據題意先把圖形從特殊到一般，逐個畫出來，并給每個圖編上序號①，②，③，④，⑤。

把所取的四邊形與三角形紙片數的和是1時，記作C1，把所取的四邊形與三角形紙片數的和是2時，記作C2，把所取的四邊形與三角形紙片數的和是3時，記作C3，… … 依此類推，把所取的四邊形與三角形紙片數的和是n時，記作Cn 。觀察圖形，可以輕松算出C1 =8，C2 =10，C3 =14 ，C4 =16 ，C5 =20。那Cn怎么算呢？再看圖形的變化規律，猜想相鄰兩個圖形間的變化有什么規律？這里體現了分類討論的數學思想，每次增加一個三角形或四邊形。什么時候增加三角形，什么時候增加四邊形成為此題的一個難點？當序數（n）為偶數時增加的是三角形，當序數（n）為奇數時增加的是四邊形。每增加一個三角形時周長增加一個邊長，當每增加一個四邊形時周長增加2個邊長，也就是說，當n為偶數時周長加2，n為奇數時周長加4。

綜上所述，由于規律探索題既能訓練學生的邏輯推理能力，又能培養學生的創造意識，提高學生的創新能力，因而成為中考的熱點、亮點、難點。這就啟發廣大數學教師必須注重過程教學，用科學的方法引導學生經歷探索規律的過程，在這樣的過程中讓學生感受數學的美，感受探索規律的快樂，搞升解決數學難題的自信心，逐步培養學生的獨立探究能力。