圓錐曲線的共同特征

教材分析：（一）教材的地位與作用。本節內容選自于北師大版選修2—1第三章第四節的第二小節。是學習完三種圓錐曲線幾何性質之后的總結，總結的是三種圓錐曲線的幾何條件，標準方程及性質，然后從中歸納它們的共同性質，使學生比較清楚的掌握這三種曲線的特點，以及它們之間的區別與聯系；（二）學生狀況分析。根據曲線的方程，研究曲線的幾何性質，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題和主要目的，本節以類比遷移、坐標法及數形結合的思想方法貫穿始終，使本節課形象，直觀，可接受性強。因此學習過程中必須充分調動學生學習的主動性，做到真正提高能力，而不是把現成的結論直接拋給學生，從而為學生進行研究性學習打 下基礎；（三）教學目標。1. 知識與技能：（1）了解圓錐曲線的共同特征并能夠解決簡單問題；（2）能夠熟練求曲線方程；2. 過程與方法：通過問題設置，讓學生經歷觀察、猜想、探索、歸納的過程，在自主思考、合作探究中學習；3. 情感態度與價值觀：通過親身體驗，增強學生主動探索的意識、自主思考的習慣與合作探究的團隊精神；（四）教學重點、難點 ：本節課的知識重點是圓錐曲線的共同特征的推導，難點是對圓錐曲線的共同特征的探索和應用。由于我們剛學習了三種圓錐曲線有關問題，學生已經熟悉了圖形——方程 ——性質的研究過程，學生已具有由方程研究曲線性質的基本能力，本節課我以問題串的形式，提出了問題，然后將問題逐步引伸，解決問題。讓學生在論證中交流，在交流中獲得認識和能力的提高。

教學重點：圓錐曲線的共同特征及簡單運用；教學難點：圓錐曲線的共同特征的探索研究。

教學方法：講授法、啟發式、自主探究與合作交流相結合。學法指導：以“探索發現—大膽猜想—深入探究—證明—形成結論—抽象概念”的探究方法為主導，認知層次層層深入，探究過程環環相扣。學生在動眼看、動耳聽、動手做、動口說、動腦思中愉悅的學習知識。教學手段：多媒體輔助教學、實物投影。

教學過程：

一、創設情境，引入新課

橢圓、雙曲線、拋物線都可以用平面去截圓錐得到，這是它們圖形上的共同特征，因此稱為圓錐曲線。前面我們分別學習了圓錐曲線的標準方程及其性質。請同學們回憶以下知識：

1.求曲線方程的步驟。2.橢圓、雙曲線、拋物線的定義；3.橢圓、雙曲線、拋物線的離心率；

二、合作交流，探究新知

（一）探索發現

問題1：問題1：曲線上點M（x，y）到定點F（2，0）的距離和它到定直線 x=8的距離的比是常數1，這個曲線是什么曲線？你能求出它的方程嗎？（學生完成，實物投影展示，畫出圖形，體會定點、定直線的幾何意義）問題2：曲線上的點M（x，y）到定點F（2，0）距離和它到定直線x=8的距離的比是常數1/2 ，求曲線方程。學生求解討論。你發現了什么？由此可見：橢圓也是到定點的距離與到定直線的距離之比為常數的曲線，這樣就與拋物線有了共同的特征。

（二）大膽猜想

猜想：任意橢圓、拋物線、雙曲線都可以看作到定點的距離與它到定直線的距離之比為常數e的點的集合。那么，曲線分別為橢圓、雙曲線時，常數的取值范圍分別是什么？學生的猜想結論：當常數0<<1 時，曲線為橢圓；當常數>1時，曲線為雙曲線。

（三）深入探究

問題：能否用前面所學知識驗證猜想結論呢？定點、定直線、常數有何意義？（接下來，我們結合前面學習的推導橢圓、雙曲線標準方程的部分步驟驗證這一結論）。1.橢圓（略）；2.雙曲線（略）。

（四）形成結論（略）

（五）抽象概括，形成概念

（我們可以發現，圓錐曲線也可以如下來定義）平面內到一個定點F的距離和它到一條定直線l（l不過定點F）的距離的比等于常數的點的軌跡。當0<<1時，它是橢圓；當>1時，它是雙曲線；當 時，它是拋物線.定點F是焦點，定直線l是與焦點相應的準線，常數是離心率。我們把它稱為圓錐曲線的統一定義，曲線為橢圓、雙曲線時，也稱為橢圓、雙曲線的第二定義，前面學習的定義為第一定義。接下來讓學生類比得出：橢圓、雙曲線的焦點在y軸時的準線方程。

三、學以致用，鞏固提高

（一）例題講解：（略）設d是點P到左準線的距離， 由雙曲線的第二定義得：得，又雙曲線的兩準線間的距離是，則點P到右準線的距離是：（學生先自主思考，求出方程后在組內交流，推舉代表到講臺前利用實物投影儀展示并分析解題過程，其他小組可做補充。）

（二）練習鞏固

1.方程（略）表示的曲線是（ ）A.橢圓 B.雙曲線 C.線段 D.拋物線2.中心在原點，準線方程為，離心率為的橢圓方程是____________；3.橢圓（略）上一點P到一個焦點F（3，0）的距離等于3，則點P到直線x=10的距離為_________.

三、回顧反思

本節課，你學習了哪些知識？運用到了哪些數學思想方法？我們是如何探究知識的？1.圓錐曲線上的點到定點的距離與到定直線（直線不過定點）的距離之比等于常數.當0<<1時，它是橢圓；當>1時，它是雙曲線；當=1時，它是拋物線；2.求軌跡方程的常用方法：直接法、定義法；3.數學思想方法：數形結合、類比等.

四、作業

必做題：1.P87練習：2；2.已知橢圓（略）上一點P到右準線的距離為10，求點P到左準線的距離。

選做題：已知點，設點F為橢圓（略）的右焦點，點M為橢圓上動點，求MA+2MF的最小值，并求此時點M的坐標。