指數函數的圖像和性質

一、教學目標

知識與技能：理解指數函數的概念，掌握指數函數的圖像和性質，理解從特殊到一般的數學歸納方法，培養學生實際應用函數性質的能力；過程與方法：通過觀察圖像，分析、歸納、總結、自主建構指數函數的性質，領會數形結合的數學思想方法，培養學生發現、分析、解決問題的能力；情感態度與價值觀：在指數函數的學習過程中體驗數學的科學價值和應用價值，培養學生善于觀察、勇于探索的良好習慣和嚴謹的科學態度。

二、教學重點、難點

教學重點：指數函數的概念的理解及其圖像和性質；教學難點：由圖像特征歸納指數函數性質以及底數對函數圖像的影響

三、教學過程

教學環節：（略

教學內容：

（一）創設情境

問題1：如圖，某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，……一個這樣的細胞分裂x次后，得到的細胞分裂的個數y與x之間，構成一個函數關系，能寫出x與y之間的函數關系式嗎？（略）（學生回答：y與x之間的關系式可以表示為y=2x）問題2：《莊子·逍遙游》記載：“一尺之椎，日取其半，萬世不竭。”意思是一尺長的木棒，一天截取一半，很長時間也截取不完。這樣的一個木棒截取x次，能寫出x與y之間的函數關系式嗎？（略）（學生回答：y與x之間的關系式可以表示為）（教師引導：觀察y=2x和的特征，類似于這樣的函數，我們給出一個新的概念——指數函數）

通過設計兩個學生熟悉的問題情境，可以集中學生注意，快速的切入主題，同時也可引導學生分析這兩個解析式的共同特征，類比、歸納指數函數的概念，讓學生對指數函數有初步的感知認識。

（二）新知探究

探究一：指數函數的定義。一般地，函數y=ax（a>0且a≠1）叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R.（教師提問）：問題1：指數函數定義中，為什么規定“a>0且a≠1”如果不這樣規定會出現什么情況？（師生共同解決）：（1）若a<0會有什么問題？（如a=-2，x=

1

2

則在實數范圍內相應的函數值不存在）（2）若a=0會有什么問題？（對于x≤0 ， ax無意義）（3）若a=1又會怎么樣？（1x無論x取何值，它總是1，對它沒有研究的必要.）（教師總結）：為了避免上述各種情況的發生，所以規定a>0且a≠1.（教師提問）：問題2：從形式上看指數函數的解析式有何特征？（師生共同解決）：①底數a大于零且不等于1的常數；②化簡后冪指數有單一的自變量x；③化簡后冪的系數為1，且沒有其他的項。

例1：指出下列函數那些是指數函數：（1）y=x2 （2）y=3x （3）y=-4x （4）y=（-3）x （5）y=x2x+1；例2：已知指數函數f（x）=ax（a>0，a≠1）的圖象經過點（3，π），求f（0）的值。首先給出指數函數的概念，使學生在心中有一個很直接的、相對較深的印象，接下來通過兩個問題的提出和解決，使學生進一步理解概念的內涵和外延，最后解決兩個直接考察概念的題目，能加深理解，融會貫通，同時，這樣安排能使學生體會到數學的嚴謹性，逐漸養成良好的數學學習習慣。

探究二：指數函數的圖像及性質

在同一平面直角坐標系內畫出指數函數y=2x與的圖像（畫圖步驟：列表、描點、連線）。同時畫出y=3x與的函數圖像（學生先在紙上畫，最后教師再通過作圖軟件進行統一糾正和展示。）（圖略）（由特殊到一般，師生共同歸納一般的指數函數的圖像和性質。）（表略）特別地，函數值的分布情況如下：（略）

例3：比較下列各題中兩個值的大小：（1）1.72.5，（2）0.8-0.1，0.8-0.2（3）1.70.3，0.93.1（教師引導學生觀察這些指數值的特征，思考比較大小的方法。（1）（2）兩題底相同，指數不同，可直接構造函數，運用指數函數的單調性解決，（3）題底不同，指數也不同，可以借助中介值比較大小。）

例4：已知，求數a的取值范圍。這一部分的作圖、從特殊到一般的歸納總結，都由學生和教師通力完成，這樣不僅體現了學生的主體地位，而且可以讓學生在探索過程中體會到數形結合這一思想方法的重要性，提高學生的動手能力以及滲透概括能力，在加深理解的同時感受到分析問題、解決問題的樂趣，提高了學生的學習積極性。例3和例4是對函數性質的應用，主要目的是通過練習幫助學生盡快熟練指數函數的圖像和性質，逐步滲透數形結合思想方法。同時，在學生心中強化底數a的重要性。

深入探究：圖像特征與底數關系：觀察具體指數函數的圖像（略）（教師引導學生歸納）：1.底數互為倒數的兩個函數圖像關于y軸對稱；2.在第一象限當x取同一個值時，函數值隨底數的增大而增大.練習：如圖，指數函數： A.y=ax B.y=bx C.y=cx D.y=dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系是_________（略）

通過特殊到一般的數學方法歸納出圖像特征與底數關系，使學生有直觀的認識，通過練習能加深理解。

（三）當堂訓練

1.若函數y=（a2-3a+3）ax是指數函數，則（ ）A.a>1且a≠1 B.a=1 C.a=1或a=2 D.a=2

2.函數y=ax-3+2（a>0且a≠1）的圖象一定經過點P，則P點的坐標為（ ）A.（-2，-3） B.（3，3） C.（3，2） D.（-3，-2）

（四）課堂小結（師生合作交流，共同總結）1、知識總結：指數函數的概念、圖像及性質；2、題型總結：（1）判斷指定函數是否為指數函數（2）運用指數函數性質判斷大小（3）判斷指數函數圖象特征與底數的關系 （4）指數函數過定點問題；3、數學思想方法總結：構造函數法、數形結合法、由特殊到一般的方法、分類討論法等。

（五）布置作業