按圖索“跡”，攻克解題難點

付培軍

帶電粒子在復合場中的運動問題，能很好地考查考生空間想象能力、綜合分析能力和運用數學知識解決物理問題的能力，常以壓軸題的形式出現。試題一般結合運動、力、能量等知識點，覆蓋面廣，綜合性強，是高考中拉開得分檔次的關鍵。

一、運動情形

復合場是指電場、磁場、重力場中的三者或其中任意兩者共存，在復合場中運動的電荷有時可不計重力，如電子、質子、α粒子等微觀粒子；也有重力不能忽略的宏觀帶電體，如小球、液滴、微粒等。帶電粒子在復合場中的運動情況雖然較為復雜，但同樣遵循力和運動的基本規律。

（1）靜止或勻速直線運動。若處于靜止狀態則不受洛倫茲力作用，肯定是重力和電場力平衡；若在電場力、重力和洛倫茲力共同作用下做直線運動，因電場力和重力為恒力，洛倫茲力隨速度改變而改變；若速度大小變化，垂直速度方向上的合力就要變化，電荷就會脫離原來的直線軌道而沿曲線運動，因此電荷的速度一定不變。

（2）電荷在復合場中做勻速圓周運動。由于勻速圓周運動的條件是所受合外力大小恒定、方向時刻和速度方向垂直，只有洛倫茲力可滿足該條件，因此電荷在復合場中做勻速圓周運動時，除洛倫茲力以外的所有力的合力必為零。一般情況下因粒子的速度大小和方向均不斷變化，粒子只能做非勻變速曲線運動。

二、難點突破

帶電粒子在復合場中的運動情形多種多樣，涉及的知識點多，綜合性強，難度大，但求解此類問題還是有一定的方法和思路可循的，考生可以抓住以下幾個問題進行突破。

1. 找圓心，畫軌跡，求時間

帶電粒子以一定的速度進入復合場中運動時，曲線運動中的圓弧運動是一類典型代表，常會在洛倫茲力的作用下發生偏轉，其運動徑跡是圓周的一部分，此時找圓心，畫軌跡是破解的關鍵。

例1 （2018年中原名校聯考題） 如圖1所示，在空間有一坐標系xOy，直線OP與x軸正方向成30°角，第一象限內有兩個方向垂直于紙面向外的勻強磁場區域Ⅰ和區域Ⅱ，直線OP上方的磁感應強度為B。一個不計重力質量為m，帶電量為q的質子以速度v從O點沿與OP成30°角的方向垂直射入磁場區域Ⅰ，質子先后經過磁場區域Ⅰ和區域Ⅱ，恰好垂直打在x軸上的Q點（圖1中未畫出），則（ ）

A.粒子在第一象限中的運動時間為

B.粒子在第一象限中的運動時間為

C. Q點的橫坐標為

D. Q點的橫坐標為

解析：若設粒子從OP上的A點離開磁場區域Ⅰ進入磁場區域Ⅱ，則粒子在區域Ⅰ圓弧運動的圓心C在OA的垂直平分線上，圓心C還在速度的垂線上。又粒子進入區域Ⅱ后能垂直打在x軸上，則其圓心一定在x軸上的D點，A、D、C三點共線且平行于y軸，結合題意可繪出粒子運動的徑跡如圖2所示。

點評：解有關帶電粒子的多解或周期性問題時，要弄清楚復合場的組成特點及場的變化情況，確定多解或周期性形成的原因，正確分析帶電粒子的受力情況，畫出粒子的運動軌跡，并且至少要畫出一個周期的運動軌跡示意圖，注意相鄰過程的銜接點，再應用相關規律求解。當帶電粒子做復雜的曲線運動或有約束的變速直線運動時，一般用動能定理或能量守恒定律求解。

3. 分析運動中的臨界、極值或磁聚焦問題

帶電粒子在復合場中的運動過程中往往存在臨界和極值問題，有時還夾雜著磁聚焦問題，難度大。求解時要對題目中所涉及的物理情景理解清楚，對物理過程有正確的認識。

例3 （2017年中原名校聯考題）如圖6所示，圓柱形區域是垂直紙面向里的勻強磁場B的橫截面，一質量為m電量為+q的粒子從M點沿與直徑MN成45°角的方向以速度v射入場區。若粒子射出磁場時與射入磁場時運動方向間的夾角為135°，P點是圓周上某點，不計粒子重力，則（ ）

A.粒子做圓周運動的軌道半徑為

B.磁場區域的半徑為

C.粒子在磁場中的運動時間為

D.若粒子以同樣的速度從P點射入，則從磁場射出的位置必定與M點入射時從磁場射出的位置相同

解析：如圖7所示，由速度轉向角為135°，知粒子從C點豎直向上射出，圓心為D點，由幾何關系知四邊形MOCD為菱形，即粒子圓運動的軌道半徑和磁

場區域的半徑相同，由qvB=知R=，即選項B對A錯；由速度轉向角為135°知t=T，又T=知t=，即選項C錯；若粒子以同樣的速度從P點射

入，則軌道半徑不變，圓心在圖7中的E點，四邊形POCE也為菱形，粒子經PC弧過C點，此時與P點的位置無關，由磁聚焦知都會過C點，故選項D對。

點評：本題中粒子從不同位置射入而從同一位置射出，屬磁聚焦問題。一般地，在復合場中運動時，要根據受力情況推斷粒子的運動情況，再建立關聯方程求解。處理臨界或極值問題時，一般先分析兩種物理現象及其與臨界值相關的條件，再用假設法、極限法或數學方法求出臨界值，依所給條件與臨界值間的關系求解。而有關磁聚焦的問題，一般要結合粒子速度的變化情況，分析出粒子的運動特點，在動態中確定粒子圓周運動的圓心，繪制粒子運動的草圖，把握好邊界粒子運動的軌跡，再用幾何關系求解。

Tips：解題方法歸納

求解帶電粒子在復合場中的運動問題時，首先要弄清是怎樣一個復合場，然后才能對帶電粒子的受力及運動情況進行分析。求解步驟為：①劃分過程，即將粒子運動的過程劃分為幾個不同的階段，對不同的階段選取不同的規律處理；②畫運動軌跡，即根據受力分析和運動分析，大致畫出粒子的運動軌跡，有利于形象、直觀地解決問題。③找關鍵點，即確定帶電粒子在場區邊界的速度（包括大小和方向）是解決該類問題的關鍵。endprint