二階三階變系數(shù)線性微分方程可降階求解的一個充要條件

[摘 要] 給出二階三階變系數(shù)線性微分方程可解一個充要條件，參照一階線性微分方程常數(shù)變異解法給出二階三階變系數(shù)線性微分方程的一個通解公式并加以應用.

[關 鍵 詞] 變系數(shù)線性微分方程；充要條件；通解

[中圖分類號] O175 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）10-0168-02

力學、電學及其他工程技術中一個重要的解析工具是常系數(shù)線性微分方程，而在系數(shù)激勵振動、波導傳輸理論以及許多其他的實際應用問題中還經(jīng)常會用到變系數(shù)線性微分方程，其解的研究將對有關問題的分析和應用大有幫助.實際上，變系數(shù)線性微分方程的求解困難重重，本文針對二階、三階變系數(shù)線性微分方程，給出其可降階求解的一個充要條件并進行了相關的應用.

一、預備知識

引理1：一階線性微分方程y′+P（x）y=Q（x），其中P（x），Q（x）是關于x的連續(xù)函數(shù)，其通解為y=■■Q（x）e■■dx+C，其中C∈R.

證明：由常數(shù)變易法可以證明其結論成立，證明過程略.

定義1：若P（x），Q（x），f（x）是關于x的連續(xù)函數(shù)，則稱方程

y″+P（x）y′+Q（x）=f（x） （1）

為二階變系數(shù)線性微分方程，若f（x）=0，則稱方程

y″+P（x）y′+Q（x）=0 （2）

為二階變系數(shù)齊次線性微分方程.

定義2：若a1（x），a2（x），a3（x），f（x）是關于x的連續(xù)函數(shù)，則稱方程

y″′+a1（x）y″+a2（x）y′+a3（x）y=f（x） （3）

為三階變系數(shù)線性微分方程，若f（x）≡0，則稱方程

y″′+a1（x）y″+a2（x）y′+a3（x）y=0 （4）

為三階變系數(shù)齊次線性微分方程.

二、主要結論

定理1：方程（1）可降價求解的充要條件是存在函數(shù)u（x），v（x）（其中u（x），v（x），u′（x）∈C），使得方程（1）中的系數(shù)P（x），Q（x）滿足以下關系P（x）=u（x）+v（x），Q（x）=u′（x）+u（x）v（x）.

證明：先證充分性

將P（x）=u（x）+v（x），Q（x）=u′（x）+u（x）v（x），代入方程（1）整理可得[y′+u（x）y]′+v（x）[y′+u（x）y]=f（x）

令y′+u（x）y=z，則上式轉化為z′+v（x）z=f（x），由引理1可得其解，將解代入y′+u（x）y=z，再次利用引理1即可求得方程（1）的解.

再證必要性

若方程（1）可解，則其……