淺談數學教學對學生發散思維的培養

羅文波

摘要：我深切地體會到，在數學教學中，對一些數學命題，應積極引導，啟發學生去將命題中條件或結論進行延伸、拓展、知識鏈疊加。從而使學生去發現探索，在探索過程中，獲得新的認知和技能。同時，要以培養學生創新精神和實踐能力為重點，在“全面發展”上做文章，在創新學習，開發學生的個體潛能上下工夫，達到培養他們的發散思維能力和解決實際問題的能力，激發創新精神。

關鍵詞：探討；創新；猜想；標新立異；開放型

“發散思維是指從同一信息源出發，運用已掌握的知識進行放射性聯想、思考、分解、組合、引申、推廣，使思維朝著各個方向展開，從多渠道尋求問題解答的一種思維形式?！睂W生在數學學習中，發散思維表現為依據定義、定理、公式和題設條件，思維朝著各種可能的方向擴散前進，不局限于既定的模式，從不同的角度尋找解決問題的各種可能的途徑。

隨著素質教育的深入發展，課程改革的興起，全國各類中考試題中開放性探索性命題如雨后春筍般涌現，為在數學教學中發散思維的培養注入了活力，指明了方向。

現代數學論認為，數學教學活動的核心是“創新學習”，培養學生“主動探索與研究精神”以及解決實際問題的能力扣創新能力。據現代心理學家的見解，學生在數學學習的過程中，探究精神、創新能力的大小和他們的發散思維能力成正比例?？捎萌缦鹿焦浪悖簞撔履芰?磨合的知識總量×發散思維能力。因此，數學教師在教學過程中，加強發散思維能力的訓練，是培養學生創造思維的重要環節。本文就如何培養學生發散思維能力淺談一點體會。

一、 訓練學生對同一條件，聯想到多種結論的發散思維能力

例1如圖，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，點F是CD的中點，（1）求證：AF⊥CD；（2）在你連接BE后，還能得出什么新的結論？請最少寫出四個（不要求證明）。

分析：本題是一道充分揭示思維的廣度和深度的開放性習題。特別是第（2）問，展現給學生的是已知條件確定后，沒有固定的結論，而是讓學生自己盡可能多地去確定未知結論。使各種不同層次的學生都得到了有效的嘗試，符合“讓每一位學生都得到發展”的課改精神。學生的結論各異，反映了學生思維水平的不同。這里結合學生給出的答案列出七個結論：

①BE∥CD；②AF⊥BE且平分BE；③△ACF≌△ADF；④∠BCD=∠EDC；⑤五邊形ABCDE是以直線AF為對稱軸的軸對稱圖形；⑥AF平分∠BAE；⑦S四邊形ABCF=S四邊形AEDF。

二、 訓練學生對同一結論，聯想到多種條件的發散思維能力

例2點P是△ABC中AB邊上的一點，過點P作直線（不與直線AB重合）截△ABC，使截得的三角形與原三角形相似，滿足這樣條件的直線最多有多少條？

分析：該題是將相似三角形的幾個判定方法磨合成一道動靜相宜的創新習題。展示給學生的是：問題的結論已經確定，要讓學生盡可能去變化已知條件，進而從不同的角度，用不同的知識來解答問題。這樣既可以充分揭示數學問題的層次，又可以充分暴露學生自身的發散思維的層次，激活他們思維的敏捷性和靈活性。綜合學生的答案得：滿足這樣條件的直線最多有四條。

①如圖1，過點P作直線PD∥BC；

②如圖1，過點P作直線PE∥AC；

已知①、②應用相似三角形的判定定理3證明△APD∽△ABC；△BPE∽△BAC；

③如圖2，經過P點作直線PE，使∠AEP=∠B；

④如圖2，經過P點作直線PF，使∠BFP=∠A。

已知③、④應用相似三角形的判定定理1、2證明△AEP∽△ABC，△BPF∽△BCA。

圖1

圖2

三、 訓練學生對圖形的發散思維能力

例3已知：如圖（1），點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，求證：AN=BM。

圖（1）

說明及要求：

圖（2）

（1） 將△ACM繞C點按逆時針方向旋轉180°，使A點落在CB上。請對照原題在圖（2）中畫出符合要求的圖形；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2） 在（1）所得到的圖形中，結論“AN=BM”是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（3） 在（1）所得到的圖形中，若MA的延長線與BN相交于D點，試判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀，并證明你的結論。

分析：該題將圖形中某些元素的位置關系進行了變化，從而產生了一系列新的圖形。學生從中不僅了解了幾何圖形的演變過程，還可以舉一反三，觸類旁通。同時學生還通過圖形的演變過程了解它們之間的內在聯系和區別，探究出特殊與一般之間的關系。這樣培養，學生認為“像是自己出題自己去解答，有一種輕松感”。連基礎較差的學生，也能試一試。（解答略）

四、 一題多解，培養學生創新發散思維能力

例4已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD切⊙O于D，DE⊥AB于點E。求證：∠EDB=∠CDB。

分析：本題引導學生進行一題多解，不僅可以開闊學生的眼界，加深知識的縱橫聯系；還可以由淺入深，由此及彼探尋解題途徑，培養學生綜合運用知識的能力。更重要的是引導了學生對不同的解法進行比較，找出最簡便的解法。使學生的探求精神，發散思維能力向更高境界發展。

證法一：如圖，連接AD，則AD⊥DB，又由CD是切線，有∠BDC=∠A，在Rt△ADB中，∵DE⊥AB，∴∠EDB=∠A=∠BDC；

證法二：如圖，連接OD，則∠ODB=∠OBD。∵CD是切線，∴∠CDB+∠ODB=∠EDB+∠OBD=90°，于是：∠EDB=∠CDB；

證法三：如圖，延長DE交⊙O于F，連接FB，∵DE⊥AB，AB是直徑，∴EF=DE，則△DFB是等腰三角形，∴∠EDB=∠F，∴CD是切線，∴∠BDC=∠F=∠EDB；

證法四：如圖，作BG⊥AB交CD于G，則BG是⊙O的切線，∵DE⊥AB，

∴BG∥DE，即∠EDB=∠DBG，∵BG=DG，∴∠BDC=∠DBG=∠EDB：

證法五：如圖，作BM⊥CD于M，∵CD是切線，∴OD⊥CD，則BM∥OD，即∠DBM=∠ODB=∠OBD，∵DB=DB，∠DEB=90°=∠DMB，∴△DBE≌△DBM，∴∠EDB=∠BDC。

五、 培養學生引申或推廣命題的發散思維能力

一個命題，如果僅僅孤立的去解決它，那么解決得再好，充其量只不過是解決一個問題；如果能對它深入分析研究，加以拓廣，從而得到新的結論，那么就可解決一類問題，達到舉一反三的目的。

還是以例3為例，將題設延伸，結論疊加展現在學生面前的不是單純知識的重復，而是立意新穎，知識鏈加長，充滿活力的一道道習題。

若AC=2，CB=3。（1）試判定△GCE的形狀；（2）證明GE∥AB；（3）求∠AOB的度數；（4）證明∠CAN=∠CMB；（5）證明AG·BF=NE·ME；（6）求△MCE與△BNE的面積的比值。

綜上所述，我深切地體會到：在數學教學中，對一些數學命題，應積極引導、啟發學生去將命題中的條件或結論進行延伸、拓展、知識鏈疊加，從而，使學生去發現、探索，在探索過程中，獲得新的認知和技能。同時，要以培養學生創新精神和實踐能力為重點，在“全面發展”上做文章，在創新學習、開發學生的個體潛能上下工夫，達到培養他們的發散思維能力和解決實際問題的能力，激發創新精神。endprint