從典型錯(cuò)例分析及矯正談“列舉策略”的應(yīng)用

王海燕

【摘要】本文對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)中列舉的策略做出分析，說(shuō)明在解題的過(guò)程中如何避免出現(xiàn)錯(cuò)誤以及如何正確地解答題目。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 列舉 策略 錯(cuò)誤

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）10A-0121-02

所謂“列舉策略”，就是把滿足題目要求的所有可能值均列出來(lái)。在此之后，我們需要對(duì)所有的可能值進(jìn)行分析，選擇可以滿足題目要求的所需值，對(duì)不滿足題目要求的所需值進(jìn)行剔除，這樣我們才有可能得到最后的答案。而“列舉策略”的重點(diǎn)在于：不遺漏、不重復(fù)、有思考、會(huì)計(jì)算。下面，筆者擬結(jié)合幾個(gè)數(shù)學(xué)錯(cuò)例，談?wù)勅绾芜M(jìn)行列舉。

例1：小紅有10朵小紅花，小明有8朵小藍(lán)花，小誠(chéng)有15朵小綠花。現(xiàn)在已知兩朵小紅花可以換5朵小綠花或者1朵小藍(lán)花。如果小紅要用自己手中的花來(lái)和小明、小誠(chéng)這兩個(gè)或者其中的一人來(lái)進(jìn)行交換，請(qǐng)問(wèn)在交換結(jié)束后小紅手中可能有幾朵小紅花、小黃花和小綠花？

學(xué)生的答案只有如下幾種：10朵小紅花、0朵小藍(lán)花、0朵小綠花；8朵小紅花、1朵小藍(lán)花、0朵小綠花；6朵小紅花、2朵小藍(lán)花、0朵小綠花；4朵小紅花、3朵小藍(lán)花、0朵小綠花；2朵小紅花、4朵小藍(lán)花、0朵小綠花；0朵小紅花、5朵小藍(lán)花、0朵小綠花；8朵小紅花、0朵小藍(lán)花、5朵小綠花；6朵小紅花、0朵小藍(lán)花、10朵小綠花；4朵小紅花、0朵小藍(lán)花、15朵小綠花。

【診斷】通過(guò)分析學(xué)生的答案，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題的過(guò)程中存在兩種問(wèn)題：其一，不明題意，理解上出現(xiàn)偏差。其二，沒(méi)有考慮到交換過(guò)程中存在的復(fù)雜情況。在學(xué)生的回答中有這樣一種情況：10朵小紅花、0朵小藍(lán)花、0朵小綠花。在這種情況下，小紅手中的花的數(shù)目并沒(méi)有發(fā)生變化。而題中已經(jīng)明確指出：小紅要用自己手中的花來(lái)和小明、小誠(chéng)這兩個(gè)或者其中的一人來(lái)進(jìn)行交換。這也就是說(shuō)：交換一定會(huì)發(fā)生，小紅手中的花的數(shù)目一定會(huì)發(fā)生改變。而學(xué)生在解答中還保留了原來(lái)的花的數(shù)目，這就說(shuō)明解答者不明題意，理解上出現(xiàn)偏差。二是學(xué)生在對(duì)題目進(jìn)行解答時(shí)并沒(méi)有考慮到小紅既和小明交換花朵又和小誠(chéng)交換花朵的情況。出現(xiàn)這種情況可能是學(xué)生對(duì)題意理解不足，也可能是沒(méi)有考慮到交換過(guò)程中存在的復(fù)雜情況。為此，筆者提出以下解決對(duì)策：

1.多讀題、理解題意

在答題的過(guò)程中，部分學(xué)生總是會(huì)表現(xiàn)得非常匆忙，這種現(xiàn)象在考試中尤為明顯。學(xué)生如果讀題過(guò)于匆忙，可能會(huì)因?yàn)閷?duì)題意理解不透而丟分，上文就是最好的說(shuō)明。一步錯(cuò)，滿盤(pán)皆輸。在平時(shí)的教學(xué)中，教師一定要強(qiáng)調(diào)讀題的重要性。對(duì)于上題的教學(xué)，教師要對(duì)其中的重點(diǎn)信息進(jìn)行分析，特別要對(duì)“如果小紅要用自己手中的花來(lái)和小明、小誠(chéng)這兩個(gè)或者其中的一人來(lái)進(jìn)行交換”這一段話做重點(diǎn)分析，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)關(guān)鍵字詞的理解，明白題意中必須有“交換”的發(fā)生。

2.嵌套列舉

二維的列舉較一維的列舉要復(fù)雜得多，在面對(duì)有多個(gè)變量的題目時(shí)，我們需要讓學(xué)生掌握“嵌套列舉”的解題技巧。所謂嵌套列舉，它要在第一次列舉的所有列舉項(xiàng)中進(jìn)行第二次列舉。仍以上題為例，題目中具有兩個(gè)變量：和小明交換、和小誠(chéng)交換。而解題者就可能犯這樣的錯(cuò)誤：列舉遺漏、單項(xiàng)列舉。列舉遺漏是舉例過(guò)程不規(guī)范所致，利用嵌套列舉，就可以避免此類問(wèn)題的發(fā)生。在本題中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生先對(duì)小紅和小明的交換情況進(jìn)行分析，接著再引導(dǎo)學(xué)生在以上情況的基礎(chǔ)上對(duì)小紅和小誠(chéng)的交換情況進(jìn)行分析。例如，先確定藍(lán)花數(shù)量再確定綠花和紅花之間的轉(zhuǎn)換，小紅和小明交換0朵小藍(lán)花，這樣小紅手中的花朵就變成了：10朵小紅花、0朵小藍(lán)花，接著引導(dǎo)學(xué)生分析小紅在此種情況下和小誠(chéng)的交換情況，由于交換必須發(fā)生且小誠(chéng)只有15朵小綠花，所以小紅最少用2朵小紅花和小誠(chéng)交換5朵小綠花，最多用6朵小紅花和小誠(chéng)交換15朵小綠花，此時(shí)小紅手中的花可能有以下幾種情況：8朵小紅花，0朵小藍(lán)花，5朵小綠花；6朵小紅花，0朵小藍(lán)花，10朵小綠花；4朵小紅花，0朵小藍(lán)花，15朵小綠花。小紅和小明交換1朵小藍(lán)花，這樣小紅手中的花朵就變成了：8朵小紅花、1朵小藍(lán)花，小紅在此種情況下和小誠(chéng)的進(jìn)行交換可以最少交換0朵小綠花，最多15朵小綠花……依此類推，我們可以得到小紅和小明交換2朵、3朵、4朵、5朵藍(lán)花的情況。教師需要注意提醒學(xué)生存在小紅只與小明交換或者只與小誠(chéng)交換的情況。

3.明確范圍

此題中存在三個(gè)基本量：紅花、藍(lán)花、綠花。三個(gè)基本量也就有三個(gè)范圍，如果學(xué)生在解題的過(guò)程中忽視了其中的某一個(gè)范圍，就會(huì)導(dǎo)致整道題的解題思路方向錯(cuò)誤。例如：如果學(xué)生忽視了綠花的最大取值為15的話，就可能得到如下錯(cuò)誤答案：0朵小紅花、25朵小綠花。為了提醒學(xué)生記住題目中的范圍，我們可以讓學(xué)生嘗試使用如下兩種方法：其一，在寫(xiě)題之前將范圍寫(xiě)在草稿紙上，提醒自己注意。其二，在寫(xiě)題結(jié)束后，對(duì)答案進(jìn)行檢查，對(duì)不在范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行剔除。

例2：用100元到商店買(mǎi)東西，已知：一塊橡皮需要花費(fèi)3元、一支鉛筆需要花費(fèi)7元、一個(gè)本子需要花費(fèi)10元。問(wèn)：在正好花光100元的情況下，可以買(mǎi)到幾樣?xùn)|西？

學(xué)生的答案有：7+3+10=20（元） 100÷20=5 5×3=15

因此，可以買(mǎi)到15樣?xùn)|西。

【診斷】此題解答的錯(cuò)誤點(diǎn)為：第一，沒(méi)有樹(shù)立列舉的概念。第二，曲解題目意思。首先，在閱讀完題目后，我們應(yīng)該知道此題的答案并不止一個(gè)。通過(guò)簡(jiǎn)單的分析我們就可以得到以上結(jié)論，例如：買(mǎi)一塊橡皮、一支鉛筆、9個(gè)本子正好消費(fèi)100元，此時(shí)買(mǎi)到的東西數(shù)為11。而買(mǎi)2塊橡皮、2支鉛筆、8個(gè)本子正好消費(fèi)100元，此時(shí)買(mǎi)到的東西數(shù)為12。而解答者最終只得到了一個(gè)答案，這說(shuō)明解答者沒(méi)有列舉的概念。其次，通過(guò)解答者的演算步驟，我們可以知道解答者所算的答案為：在鉛筆數(shù)目等于橡皮數(shù)目等于本子數(shù)目時(shí)，剛好消費(fèi)一百元。而原題中并沒(méi)有“鉛筆數(shù)目等于橡皮數(shù)目等于本子數(shù)目”這樣的條件限制，因此說(shuō)明解答者曲解了題目意思。本題的對(duì)策分為兩類：一般解題方法和巧妙解題方法。

1.一般解題方法

一般解題方法適用于時(shí)間緊急的情況，如考試中學(xué)生不知道該如何進(jìn)行答題時(shí)，可以對(duì)此題使用窮舉法。通過(guò)窮舉法，學(xué)生可以得出所有的答案。三層嵌套是使用窮舉法所需要運(yùn)用的解題策略。三層嵌套是在兩層嵌套的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的嵌套方法。以上題為例，我們可以讓學(xué)生在確定了買(mǎi)一塊橡皮、一支鉛筆的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，對(duì)買(mǎi)多少個(gè)本子可以進(jìn)行推算或者計(jì)算。

這里需要教師提醒學(xué)生注意題目中隱含的數(shù)學(xué)條件，它是促使學(xué)生正確推斷的前提。在此題中，我們可以得出：鉛筆花費(fèi)的錢(qián)+本子花費(fèi)的錢(qián)+橡皮花費(fèi)的錢(qián)=100。但是這樣的數(shù)學(xué)式子并不是直接給出的，它是我們根據(jù)題意而推出的。

2.巧妙解題方法

值得注意的是，如果所取的值過(guò)大時(shí)，比如，此題中要消費(fèi)的金額為1000元時(shí)，窮舉需要花費(fèi)很多時(shí)間，這時(shí)教師就要引導(dǎo)學(xué)生考慮使用巧妙解題法。利用巧妙解題方法，學(xué)生可以快速得出題目的答案。教師可以在平時(shí)的練習(xí)中訓(xùn)練學(xué)生掌握這一方法。

讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵點(diǎn)是巧妙解題方法的一個(gè)策略。通過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)，學(xué)生可以對(duì)題目實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化操作。上題中的關(guān)鍵點(diǎn)就是整除與因子。通過(guò)分析題目，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：在橡皮的數(shù)目等于鉛筆的數(shù)目時(shí)，100元能正好用完。這是因?yàn)?和7都不是100的因子，100無(wú)法將之整除。而當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)3+7=10，恰好可以被100整除時(shí)，學(xué)生就可以推出：在橡皮的數(shù)目等于鉛筆的數(shù)目時(shí)，100元可以恰好用完。因此，就可以將鉛筆數(shù)等于橡皮數(shù)的情況全部列出。但是值得注意的是，教師還要引導(dǎo)學(xué)生考慮某一件東西的購(gòu)買(mǎi)數(shù)量為0的情況。例如：當(dāng)我們購(gòu)買(mǎi)10塊橡皮、0支鉛筆和7個(gè)本子時(shí)，橡皮的數(shù)目并不等于鉛筆的數(shù)目，但是其所花費(fèi)的金額一樣可以滿足題目中恰好花費(fèi)100元的條件。

綜上所述，列舉法在數(shù)學(xué)中具有很重要的意義，很多數(shù)學(xué)習(xí)題中都要使用此種方法。在列舉的過(guò)程中，解題者很容易犯一些邏輯上的錯(cuò)誤。因此，教師應(yīng)該讓學(xué)生掌握一些列舉策略，并了解列舉過(guò)程中容易出現(xiàn)的一些問(wèn)題，這樣就能促使學(xué)生更好地使用列舉法來(lái)解題。

（責(zé)編 黎雪娟）