論在解題教學中如何培養學生的思維品質

胡明秋

摘要：初中數學教學的核心是發展學生的思維能力。在實施素質教育的今天，如何通過解題教學培養學生的思維能力是實施創新教育、素質教育、培養新世紀新型建設人才的時代要求，也是數學教學肩負的責任。我認為在解題教學中應從培養學生思維的變通性、靈活性、嚴謹性、深刻性、獨創性著手。

關鍵詞：數學；解題教學；培養；思維品質

一、 一題多解，培養思維的變通性

一題多解的實質是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質聯系，在教學中，要挖掘題目的多解因素，引導學生從多種途徑，用多種方法去思考問題，從而培養思維的變通性。

例1已知△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，延長CB到E，使EB=CB，連結AE交CD的延長線于F，連結FB，如果此時AC=EC，

求證：∠ABC=∠EBF

解法一：如圖一

作∠ACB的平分線交AB于點G，易證△ACG≌△CEF

∴CG=EF

∴證△CBG≌△EBF

∴∠ABC=∠EBF

圖一

解法二：如圖二

作∠ACB的平分線交AB于點G，交AE于點P，

則點G為△ACE的垂心，

∴GF∥CE

又∠AEC=∠GCE，

∴四邊形CGFE為等腰梯形

圖二

∴CG=EF

∴再證△CBG≌△EBF

∴∠ABC=∠EBF

通過一題多解，溝通了各種知識的內在聯系，使已學知識形成系統，同時學生也會從不同的角度去觀察思考問題，掌握變異規律，靈活地應用所學的知識去解決問題，這樣能夠更深刻地理解和牢固掌握所學知識，有利于提高思維的變通性。

二、 一題多變，培養思維的靈活性

一題多變是指變換題目的條件和結論，變換圖形的位置或結構，變換題目的形式以及對題目進行引申、推廣等，即將一題演變成多題，而題目的實質不變，通過解答這樣的問題，使學生能根據變化的情況思考從中找出它們之間的聯系與區別，以及特殊與一般的關系，通過尋找解決的辦法，從而使學生舉一反三，觸類旁通，培養了學生思維的靈活性。

例2已知C為AB上一點，△ACM和△CBN為等邊三角形。求證：AN=BM

（一） 條件不變，變為開放型命題

變題1：設CM，CN分別交AN，BM于點P，Q，AN，BM交于R，問題中還有其他結論嗎？并給予證明。

（2）條件不變，延伸結論

變題2：C為AB上一點，△ACM、△CBN都是正三角形，若AC=2，BC=3，則△MCQ與△BNQ的面積比為。

（三） 條件不變，變為探索性命題

變題3：在四邊形ABCD中，E為AB上一點，△ADE和△BCE是正三角形，AB，CD，DA的中點分別為P，M，N，在BC上是否存在一點Q，使四邊形PQMN是菱形？若存在，請求出Q點的位置，若不存在，說明理由。

（四） 變換條件，尋根究底

變題4：分別以△ABC的兩邊AB和AC為邊，向外作等邊△ABD和△ACE，求證：CD=BE

通過一題多變，不僅串聯了一系列知識點，滲透了數學的重要思想方法，而且提示了各方面知識的內在聯系和規律，培養了思維的靈活性。

三、 轉化解題思維，滲透數學思想方法，培養思維的嚴謹性

在教學中，常有這樣的現象，教師投入的時間和精力不少，而實際教學效果卻不令人滿意，學生做的習題不少，但還缺乏舉一反三和獨立分析問題、轉化問題和解決問題的能力。執果溯因，往往與學生的思維定勢和教師偏重知識傳授、輕視數學素質培養直接相關，因此，在解題教學中要注重解題思維，滲透數學思想方法。

例3求證：關于x的方程（x-a）（x-a-b）-1=0有兩個實數根，其中一個大于a，另一個小于a。分別設y=（x-a）（x-a-b）-1，因為此函數二次項系數為正，所以圖像開口向上，又當x=a時，函數值為y=-1<0，這說明圖像與x軸有兩個交點，且這兩交點分布在點（a，0）兩側，從而方程（x-a）（x-a-b）-1=0一定有兩個實數根，且一根大于a，另一根小于a。

四、 抓住問題的本質，培養思維的深刻性

思維的深刻性，表現在善于透過問題的現象看本質，促使學生的思維能力進一步提高。在解題教學中，教師應引導學生認真審題、分析、觀察條件特殊時的特殊情形，并注重量變到質變的關節點，剖析問題的實質，使思維更深入一步，以獲得問題解決的巧妙途徑。

例如，在復習二次根式的兩個重要公式：（a）2=a（a≥0）和a2

=|a|時學生極易混淆。因此有意放在一起，先比較兩個公式的運算順序，啟發學生找出本質上的不同：前者中的a必須是非負數，后者中的a可取任意實數，但結果一定非負，且由a本身的符號來決定結果的最后表現形式。再讓學生驗證：（2）2=2，（-2）2在實數范圍內無意義，（-2）2=|-2|=2。通過及時點撥，步步深入的分析、釋疑，減少練習中的錯誤。

五、 標新立異，培養學生思維的獨創性

思維的獨創性是以廣泛的聯想、推廣、引申及轉移、化歸等數學思想方法為基礎的，在解題教學中，要注意引導學生用常規方法去解題，但也要啟發學生獨辟蹊徑，發現新的解題思路，教會學生通過典型問題深化，推廣去發現新的方法，這對于學生發展思維的創造性無疑具有積極作用，同時也是數學素質教育的一重要方向。

例4已知4x+10y+z=169（1）

3x+7y+z=126（2）

求x+y+z的值

解：由原方程組得：

（x+y+z）+3（x+3y）=169（1）

（x+y+z）+2（x+3y）=126（2）

（2）×3—（1）×2得x+y+z=40

此題若按常規解法，需分別求出x、y、z的值，然后相加，但分析題目的內在聯系，統觀全面，解法就別開生面。

又如化簡1996×1997×1998×1999+1

分析：首先自然想到的是被開方數中“1996×1997×1998×1999”的積，其運算量大，費時費力，但抓住二次根式中的數字特點，先引入未知數化為無理式，再將被開方數化為完全平方式，從而得到化簡的結果。

解：令1996=x，則1997=x+1，1998=x+2，1999=x+3

于是：原式=x（x+1）（x+2）（x+3）+1

=（x2+3x+1）2

=x2+3x

+1=x（x+3）+1

=1996×（1996+3）+1=3990005

總而言之，在數學解題教學中，要著力培養學生思維的變通性、靈活性、嚴謹性、深刻性、創新性，使之成為21世紀的新人才。endprint