高中數學教材潛在價值的挖掘

魏敬波

摘 要：教師回歸教材、重視教材，既要透徹理解教材中的基礎知識，還要注重挖掘基礎知識（顯性知識）中蘊含的數學基本技能及數學思想方法；同時發揮教材的引領作用，培養學生學習數學的興趣和良好的個性品質，讓學生在數學學習中獲得成長。

關鍵詞：教材；隱性知識；價值；挖掘；研究；興趣；個性品質

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2017）35-0015-03

隨著新課程改革逐步深入，數學教學中三維目標的達成在核心素養與數學學科素養的理念下得到了繼承和發揚。為確保學生獲得良好的數學學科素養發展，教師不僅要注重教材中顯性知識的教學，還要重視數學基本技能及數學思想的滲透；發揮教材知識引領作用的同時，培養學生學習數學的興趣。

一、重視教材中已經明確提出的問題

教材每章之中都有大量的“思考”“？”“探究”之類欄目，是教材主體內容的延伸和補充，也是教師挖掘教材隱性知識、在課堂上滲透數學文化的重要渠道之一。教師在教學中應引導學生主動地參與到對這些問題的思考和解答的過程中，讓他們形成自己的觀點之后合作交流，通過嚴謹的邏輯推理獲得相應的數學結論。教師尊重學生在教學中的主體地位，首先體現在懂得給學生提供思考和探索的空間，讓學生通過切身經歷來體驗、發現和創造，學生獨立完成從未知到掌握的過程才能享受解決問題帶來的愉悅，進而激發繼續學習的興趣和欲望。

就筆者教學經驗而言，學生探討過程會存在得不出結論或結論不全面、不準確，解法不夠優化以及表述不清楚等問題。遇到這類情況教師要始終把自身角色定位于引導者、參與者、合作者，因勢利導地進行點撥和啟發；將結論直接告訴學生只能助長學生依賴心理，打消自主探究的積極性。師之為教，不在全盤授予，而在相機引導。筆者作為一線數學教師，認為將培養學生問題意識始終作為數學課堂教學的重點，最能促進學生思維全面地健康發展。同時，引導學生關注知識間的關聯，促進學生逐漸形成善于質疑、樂于探究、努力求知的積極態度以及激發自己勇于探索的精神。

二、例題習題的合理運用

（一）變式訓練培養學生思維的廣度

例題習題經過變換條件或形式得出新題，可以由一題變多題，引導學生對問題的理解步步深化，從而多層次、多角度地思考、研究，培養學生發散思維。

如筆者在講授人教A版《數學（必修⑤）》“一元二次不等式及其解法”一節，習題3.2A組第3題：若關于x的一元二次方程x2-（m+1）x-m=0有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍.該題可作為對二次方程根的分布問題的簡單討論的出發點，將二次方程、二次函數的圖象、二次不等式有機地聯系起來。不妨設計如下變式練習：

變式1——若關于x的一元二次方程x2-（m+2）x+4=0有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍.

變式2——若關于x的一元二次方程x2-（m+2）x+4=0沒有實數根，求m的取值范圍.

變式3——若關于x的一元二次方程x2-（m+2）x+4=0有兩個不相等的正根，求m的取值范圍.

變式4——若關于x的一元二次方程x2-（m+2）x+4=0有兩個不相等的負根，求m的取值范圍.

變式5——若關于x的一元二次方程x2-（m+2）x+4=0，兩根均在（1，5）內，求m的取值范圍.

學生通過學習一道題掌握一類題，乃至觸類旁通在未來能夠更從容應對未知事物，才是核心素養在教學實踐中得到發展的最好表現。

（二）注重學科知識內在聯系

例題習題中蘊含教學價值的是數學方法——連接知識和實踐的橋梁。教師在課堂教學中還要注重學科內的知識聯系，學生經過回顧、探索、總結，培養自身思維的靈活性和概括性。

如人教A版《數學》（選修2-1）“橢圓的簡單幾何性質”一節練習第7題、“雙曲線的簡單幾何性質”一節例6、“拋物線”一節練習第3題，都是圓錐曲線求弦長問題——常規解法就是先求出交點坐標，再求兩點距離；但教材復習參考題A組第8題：斜率為2的直線l與雙曲線 - =1交于A、B兩點，且AB=4，求直線的方程.本題只需求出直線的縱截距，顯然延續上述解題思路會使得運算過程將相當繁瑣。教師應當引導學生利用根與系數的關系設而不求，將兩點間距離公式化為兩根之和與積的形式，進行巧解，從而落實對數學方法的滲透。

（三）開放性習題培養學生探究能力

學習最好的途徑是親自去發現，最富有成效的學習是自己去探索、去發現。

例如人教A版《數學（必修④）》“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”一節中習題3.1B組第3題：已知，

sin230°+cos260°+sin30°cos60°= ，

sin220°+cos250°+ sin20°cos50°= ，

sin215°+cos245°+ sin15°cos45°= .分析上述各式的共同特點，寫出能反映一般規律的等式，并對等式的正確性作出證明。本題是開放型問題，目的在于激發學生的奇思妙想和智慧火花，因此教師在課堂中切不可令學生探究的過程和結論拘泥于形式和標準。大多數學生解答本題得出相同形式的結論：sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）= .但當此之時，教師務必繼續發問：大家還能寫出其它形式嗎？學生進行更深入思考可以整理為：

sin2（α+30°）+cos2α+sin（α-30°）cosα= ，sin2（α-15°）+cos2（α+15°）+sin（α-15°），cos（α+15）= ，sin2α+cos2β+sinαcosβ= （其中β-α=30°）等等，緊接著再讓學生逐一證明上述變式，由淺入深。開放性題目，使學生經歷了一番猜想、歸納、證明的過程，自然加深對知識的理解和記憶，享受發現的快樂，激發學習的興趣，培養自身思維的深刻性。endprint

三、“用教材教”

數學教材是學生學習本學科知識的最主要載體。其中，定理是需要深刻理解和掌握的基礎知識，最具有“示范”功能。定理的推導過程或證明思路是最值得推廣和借鑒的經典方法。

如等比數列的前n項和公式的推導利用了錯位相減法，其中還包含了分類討論的思想，這兩種方法都是高考中經?？疾榈目键c。再如二項式定理的推導過程，也是學生應當掌握的基本方法。以1992年的一道高考選擇題為例：

在（x2+3x+2）5展開式中x的系數為（ ）

A.160 B.240 C.360 D.800

常見思路直接展開計算或先因式分解再展開，于是問題轉化為（x+1）5（x+2）5中x項的系數，即需要分別得到（x+1）5與（x+2）5兩個展開式中的一次項系數與常數項再求和，其計算過程依舊繁瑣。如果回歸推導二項展開式的一般方法，（x2+3x+2）5=（x2+3x+2）（x2+3x+2）（x2+3x+2）（x2+3x+2）（x2+3x+2），其展開式一次項必須從五個因式中任取一個一次項3x，有C 種取法；另四個因式取常數項2，有C 種取法；C 3x×C 24=240x，故選B.而2015年高考數學全國Ⅰ卷第10題，再次考察了這種經典思路。

四、強調數學的科學價值、文化價值、藝術價值

（一）發揮章頭圖、引言的導學功能

教材中章頭圖的選材，貼近生活，往往與學生生活背景相關的素材與情景以及社會生活中學生熟悉的題材有關。如必修⑤第二章《數列》畫了樹木的分支、向日葵花盤、美麗的花瓣，第三章《不等式》中“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的崇山峻嶺和成拋物線狀的熔巖噴射現象等，體現了“數學源于生活又服務于生活”的特點，讓學生知道生活中處處有數學，培養學生運用數學知識解答實際生活問題的意識及樹立學好數學的信心。同時，章頭圖本身就給人一種美的享受，體現學科的美學價值。

每章開始部分利用引言直述內容或通過問題介紹學習本章的必要性和重要性，不僅僅促進學生對本章有初步認識和了解本章的大致內容及重要的數學思想方法，更有助于引發學生的急切想學好本章節內容的欲望，激發學習熱情，增加學生對這門課的興趣。

（二）重視閱讀素材，培養人文素質

教材中的閱讀材料同樣是不可忽視的內容，幫助學生樹立學好本章的信心。

1.這部分內容中往往蘊含著豐富的數學文化和數學史內容，涉及知識的由來與發展，數學與數學家的故事，數學的應用以及思想方法等。不但可以豐富教學內容，開闊學生視野，而且可以讓學生體會知識的發現、發展過程，深刻地理解重要數學概念存在至今的意義和價值。

2.通過這部分內容讓學生感受到眾多科學家和數學家嚴謹踏實、不畏艱難、追求真理、敢于創新的科學精神，從中受到啟示和教育，樹立高尚的科學道德；同時養成實事求是、說理、批判、質疑等理性思維的習慣。尤其通過介紹我國古今數學家的成就，接受傳統文化知識熏陶，培養學生的愛國主義思想、激發學生的民族自尊心、自信心。

3.這部分的內容能夠激發學生的好奇心與求知欲，給學生提供動手實踐操作的機會，提高學生的動手實踐操作能力和應用意識，使學生體驗數學發現的樂趣，收獲成功的歷程。改變“以提高考試成績為唯一目的的數學學習”，以提高學生數學素養。

通過挖掘數學教材中隱性知識及其價值，不僅培養了學生的探究興趣，更重要的是學生在課堂上有了參與的空間和時間，真正體會到學習過程的快樂。

【責任編輯 馮夢陽】endprint