“算兩次”原理在高中數學競賽中的應用

江西省南城一中 (344700)

韓海保

“算兩次”原理在高中數學競賽中的應用

江西省南城一中 (344700)

韓海保

“算兩次”，也稱做富比尼(G.Fubini)原理，是一種非常重要的數學方法.所謂算兩次，是指用不同的方法或者從不同的角度對同一個量進行計算，當兩次都得到精確值時，我們就得到一個等式，當為估計式時，我們就得到一個不等式，從而使問題得以解決.這種方法的精神實質與“換個角度看問題”是一致的.在算兩次中，常考慮的計算對象有：數、點、元素、對子、子集等等.本文通過舉例說明算兩次原理在恒等式，集合與元素，計數論證，幾何，函數等方面的應用,愿能起到舉一反三的作用,以利于提高學生的競技能力.

一、證明恒等式

證明：考慮在n+2個數1,2,…,n+2中任取3個的取法總數S.

綜上可知結論成立.

二、集合與元素

例2 (2017年東南數學奧林匹克高一試題)設集合S={(a,b)|a∈{1,2,…,m},b∈{1,2,…,n}},A為S的子集.若不存在正整數x1,x2,x3,y1,y2,y3,使得x1

解:將每一個點對(a,b)對應到平面直角坐標系上坐標為(a,b)的點，其中a∈{1,2,…,m},b∈{1,2,…,n}.

一方面，設A取到S中x=1,y=1,y=n的所有點，易知此時|A|=2m+n-2.

另一方面，設A中一系列不少于3個點的列為第i1,i2,…,ik列，對于每一列，除了縱坐標最大和最小的點，剩下的點用它對應的縱坐標來標記它，則對每一個縱坐標，至多被標記1次，則共至多標記n-2次，即該k列中至多有2k+n-2個點，其余m-k中至多2(m-k)個點，故點的個數小于或等于2k+n-2+2(m-k)=2m+n-2.

綜上可知，集合A的元素個數的最大值為2m+n-2.

一方面，將A中n個元素作全排列，其不同排列總數為n!個.

另一方面，將子集Ai的|Ai|個元素排在前|Ai|個位置，子集Ai的余集中的元素排在后n-

|Ai|個位置，即成排列(x1,x2,…,x|Ai|,y1,y2,…,yn-|Ai|)，這樣的排列共有|Ai|!(n-|Ai|)!個，它們全包含在全排列數n!中.

以下只要說明，以m個子集A1,A2,…,Am中的元素排在前面，以它們的對應余集中的元素排在后面的各個排列之間，在題設條件之下，沒有兩個是相同的.

不妨設|Ai|≤|Aj|.由條件知，Ai?Aj，故排列(x1,x2,…,x|Aj|,y1,y2,…,yn-|Aj|)中的前|Ai|個元素，絕不會與排列(x1,x2,…,x|Ai|,y1,y2,…,yn-|Ai|)中的前|Ai|個元素完全相同，否則就有Ai?Aj，而與條件矛盾.

(2)由(1)及柯西不等式即知

評注：許多關于集合的問題可以從兩個方面去考慮：一個集合含有哪些元素，一個元素屬于哪些集合，然后將這兩個方面綜合起來，導出結論.

三、計數論證

例4 6個點，每兩個點之間有一條線相連，線染上紅色或藍色.證明一定有兩個以這些點為頂點的三角形，每個三角形的邊是同一種顏色(可能有公共的邊).

解:我們稱三邊同色的三角形為同色三角形.設有x個這樣的三角形，則三邊不全同色的三角形的個數是C36-x.

考慮這個圖中同色角(即由兩條同色的邊組成的角)的個數S.

一方面，每個同色三角形中有3個同色角，每個邊不全同色的三角形中有一個同色角，所以S=3x+(C36-x)=2x+20(1).

另一方面，如果一個頂點引出r條紅色的邊，那么以這個頂點為頂點的同色角的個數C2r+C25-r≥C23+C22=4，所以S≥6×4=24(2).

綜合(1)、(2)得x≥2，故問題得證.

評注：數學家厄爾多斯(Erdos)應用這種“從總和經平均到單獨”的方法解決了許多問題，其中要點是對總和計數，我們依照厄爾多斯的說法，稱之為計數論證.本例可以看成由平均數(≥4)來估計總數.

四、幾何問題

圖1

解：如圖1,作BC的中線AD，G當然在AD上，考慮面積，設ΔABC的面積為1，ΔAB1C1的面積為S，我們用兩種方法來計算S.

評注：很多幾何問題都可通過兩方面找到中間量的關系得出結果.

五、函數問題

例6 設函數f:N→N(即定義域為N，函數值也在N中)，滿足(ⅰ)f嚴格增；(ⅱ)對所有m,n∈N,f(mn)=f(m)f(n)；(ⅲ)f(2)=4.求f(2017).

解:由(ⅱ)，f(n)=f(1)f(n),所以f(1)=1.

設對于小于等于n的數x∈N,均有f(x)=x2.

若n+1為合數，設n+1=ab,1

若n+1為質數，則n+2為合數，從而與上面相同，f(n+2)=(n+2)2.一方面f2(n+1)=f((n+1)2)>f(n(n+2))=n2(n+2)2,從而f(n+1)≥(n+1)2;

另一方面，取整數k>(n+1)4.設h∈N滿足nh-1<(n+1)k

世界上有許多復雜的事件，只有從多個側面去觀察，才能把握它的實質.解數學題也是如此.如從一個方面不能解決，就必須改從其他方面考慮，絕不堅持一條道走到黑，這就是算兩次的精神所在.