巧用對數均值不等式解高考壓軸題*

福建省泉州市第七中學 (362000)

彭耿鈴

巧用對數均值不等式解高考壓軸題*

福建省泉州市第七中學 (362000)

彭耿鈴

研究高考試題、備戰高考是師生的重要任務，而高考壓軸題自然而然是最受關注的試題之一.

例1 (2016全國課標Ⅰ卷理科21題)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明：x1+x2<2.

解析：(Ⅰ)略；(Ⅱ)由(Ⅰ)知a>0,x1<1

例2(2014年陜西理科卷21題)設函數f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x)(x≥0)，其中f′(x)是f(x)的導函數.

(Ⅰ)g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N，求gn(x)的表達式；

(Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數a的取值范圍；

(Ⅲ)設n∈N+，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明.

解析：(Ⅰ)、(Ⅱ)略.

例3 (2013年全國大綱卷22題)設函數

(Ⅰ)若x≥0，f(x)≤0，求λ的最小值；

例4 (2010天津理科21題)已知函數f(x)=xe-x(x∈R).

(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間和極值；

(Ⅱ)已知函數y=g(x)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于直線x=1對稱，證明當x>1時，f(x)>g(x)；

(Ⅲ)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明x1+x2>2.

解析：(Ⅰ)、(Ⅱ)略；

x1+x2>2.

[1]林運來.對數學教師學科素養的幾點思考[J].數學通訊.2016(2下半月).

[2]彭耿鈴.對一道高考試題的再探究[J].數學通訊.2015(3上半月).

*本文為2016年度福建省教育科學“十三五”規劃課題《基于全國課標Ⅰ卷函數與導數的考察研究》研究成果，課題編號：FJJKXB16-314.