一道數學競賽解析幾何試題的深度探尋

揚州大學附屬中學 (225000)

孟偉業

一道數學競賽解析幾何試題的深度探尋

揚州大學附屬中學 (225000)

孟偉業

一、問題的呈現

二、問題的解析

由題目給出的條件“線段AB的中點為D，直線OD的斜率為1”，可考慮運用“點差法”，先求出直線AB的斜率，再設出直線AB的方程，通過直線與橢圓聯立，進而使得問題得以解決.下面給出解答.

在解題研究中，我們不僅要思考是否有其他解法，還應多些追問，對于此題我們追問：本題有何背景，要得出定值有何特殊的限制條件呢？若沒有了這些追問，就難以體會到問題的活力與價值，這無疑是“入寶山而空返”.

三、問題的背景思考

若將這個問題研究清楚，我們就知道如何由點P的坐標確定kOD.

為了書寫方便，設AB：y=kxt，由

四、問題的類比思考

圓、橢圓、雙曲線、拋物線在很多性質上具有相似性，為此我們將這一性質類比到圓、雙曲線、拋物線中進行思考，考慮能否得出一些類似的結論.

(一)類比到圓

圖1

引申1 如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知點P(x0,y0)在圓O：x2+y2=r2(r>0)上，不經過坐標原點O的直線l與圓O交于A，B兩點，且線段AB的中點為D，直線OD的斜率記為kOD.記直線PA，PB的斜率分別為kPA，kPB.若kOD·kOP=1，證明：kPA·kPB=1.

因為D是AB的中點，所以kOD·kAB=-1.又kOD·kOP=1，所以kOP=-k，則y0=-kx0.

(二)類比到雙曲線

圖2

(三)類比到拋物線

圖3

引申3 如圖3，在平面直角坐標系xOy中，已知異于原點O的點P(x0,y0)在拋物線C：y2=2px(p>0)上，不經過坐標原點O的直線l與拋物線C交于A，B兩點，且線段AB的中點為D，其縱坐標記為yD.記直線PA，PB的斜率分別為kPA，kPB.若yD·kOP=-p，試探究：kPA·kPB是否為定值.

解析：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則直線AB的方程為y=kx+t.

引申4 在平面直角坐標系xOy中，不經過坐標原點O的直線l與橢圓(圓、雙曲線)C交于A，B兩點，經過坐標原點O且與直線l的傾斜角互補的直線l′與橢圓(圓、雙曲線)C交于P，Q兩點.記直線PA，PB，QA，QB的斜率分別為kPA，kPB，kQA，kQB，則①kPA·kPB=kQA·kQB=定值；②kPA+kQB=0，kPB+kQA=0.

對于結論①，由前面的證明過程我們發現P是直線l′與曲線C的交點即可，所以容易證得kPA·kPB=kQA·kQB=定值(這一定值是kAB·kOD的相反數).

[1]中國數學會普及工作委員會及數學奧林匹克委員會組編.2017高中數學聯賽備考手冊(預賽試題集錦)[M].上海：華東師范大學出版社,2017.

[2]蔡玉書.2016年江蘇省數學競賽解析幾何試題的研究[J].中學數學月刊,2016(11).