不等式恒成立(有解)問題的轉(zhuǎn)換策略

江蘇省常熟中學(xué) (215500)

王 波

不等式恒成立(有解)問題的轉(zhuǎn)換策略

江蘇省常熟中學(xué) (215500)

王 波

江蘇省常熟中學(xué)參加了由蘇錫常鎮(zhèn)四市統(tǒng)一的高三第一次模擬考試，學(xué)校繼續(xù)在蘇州大市領(lǐng)跑，筆者特別關(guān)心數(shù)學(xué)一模的考試分析，通過對本班(物化班)和平行班的分析，得出了學(xué)校在難題上領(lǐng)先其他兄弟學(xué)校的結(jié)論，說明平時在中上等題上備課組所做的工作是充分的，特別是第19題導(dǎo)數(shù)問題，不等式恒成立(有解)問題一直是考試的重點(diǎn)和難點(diǎn)，主要有變量分離、函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)圖像等幾種辦法，近幾年不等式恒成立問題頻頻亮相于各地的高考及模擬題中，現(xiàn)通過例題的多種解法和大家一起探討一下不等式恒成立(有解)問題的轉(zhuǎn)換策略.

1.單變量的不等式恒成立(有解)問題

(2017蘇錫常鎮(zhèn)一模)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a為正實(shí)數(shù)，且為常數(shù))．

(1)若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(2)若不等式(x-1)f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍．

第(1)問略，第(2)問等價轉(zhuǎn)換成當(dāng)x>1時f(x)≥0，當(dāng)0

(2)當(dāng)0

綜上所述，0

教學(xué)反思：這一道是用了分離變量和羅必塔法則來求解恒成立問題，在江蘇高考中這一種解法是沒有分?jǐn)?shù)的，因?yàn)榱_必塔法則是大學(xué)里的內(nèi)容，超出了考試大綱的范圍，在這一次蘇錫常鎮(zhèn)的一模考試中，如果用了這種方法，也是沒有分?jǐn)?shù)的，所有我們要對學(xué)生說明恒成立問題到最后需要用羅必塔法則的，要重新用另外的方法去做題.

解法2:(函數(shù)性質(zhì))第(2)問等價轉(zhuǎn)換成當(dāng)x>1時f(x)≥0;當(dāng)0

x(1，x0)x0(x0，+∞)f′(x)-0+f(x)減極小值增

所以f(x)

當(dāng)20(因?yàn)榱頽(a)=ea+1-2a，n′(a)=ea-2>0，所以n(a)>n(2)>0)，又因?yàn)閙(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以由零點(diǎn)存在定理，存在x0∈(0,1)，使得m(x0)=0.

x(0，x0)x0(x0，1)f′(x)+0-f(x)增極大值減

所以f(x)>f(1)=0,當(dāng)x∈(x0,1),矛盾.

綜上所述，0

教學(xué)反思：以上解法是大部分同學(xué)做的一種方法，很多同學(xué)扣分的原因在于對于極值點(diǎn)存在性沒有去證明，而且要證明唯一性，所以必須利用零點(diǎn)存在定理加單調(diào)性去證明，解題思路要嚴(yán)密，完美.當(dāng)然還有一種非常類似的解法可以和大家分享.

(1)當(dāng)01時，m′(x)>m(1)=2-a>0恒成立，所以m(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，m(x)>m(1)=2-a>0，所以f′(x)>0恒成立，f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)>f(1)=0得證.

當(dāng)0m(ea-2)=-ea-2+1>0，所以f′(x)>0恒成立，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，f(x)

(2)當(dāng)21.

x(1，x0)x0(x0，+∞)f(x)-0+f(x)減極小值增

所以當(dāng)x∈(1,x0),f(x)

教學(xué)反思：解法3比解法2好，因?yàn)檫@樣處理，零點(diǎn)可以直接求出，列表求單調(diào)性比較容易，函數(shù)的值域很容易可以看出，我們引導(dǎo)學(xué)生解題時，要比較這兩種辦法的優(yōu)缺點(diǎn)，從而在今后的教學(xué)與測試中，對這類問題有非常深刻的認(rèn)識，達(dá)到舉一反三的效果.最后還有一種辦法也是非常經(jīng)典的.

解法4：(變形恒成立問題)第(2)問等價轉(zhuǎn)換成當(dāng)x>1時，f(x)≥0；當(dāng)0

令ω(x)=x2+(2-2a)x+1，對稱軸x=a-1，當(dāng)a-1≤1，即0ω(1)=4-2a>0，所以φ′(x)>0恒成立，φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，φ(x)>φ(1)=0得證.當(dāng)2

x(1，x0)x0(x0，+∞)φ′(x)-0+φ(x)減極小值增

所以當(dāng)x∈(1,x0),φ(x)<φ(1)=0，矛盾.

(2)當(dāng)00，φ′(x)>0恒成立，φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，φ(x)<φ(1)=0得證.

當(dāng)20)知存在x0∈(0,1)，使得ω(x0)=0.

x(0，x0)x0(x0，1)φ′(x)+0-φ(x)增極大值減

所以當(dāng)x∈(1,x0),φ(x)>φ(1)=0，矛盾.

綜上所述，0

教學(xué)反思：這種方法中二次函數(shù)的零點(diǎn)存在問題不用去證明，由圖像即知，相比較前幾種方法，求導(dǎo)以后沒有超越函數(shù)，分子是二次函數(shù)，很多同學(xué)利用根的分布很容易處理二次函數(shù)的正負(fù)問題，容易得到原函數(shù)的單調(diào)性，也避免了求二階導(dǎo)數(shù).所以在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生打開思路，多去嘗試各種方法，比較各種方法的優(yōu)劣，利用最容易求導(dǎo)的函數(shù)去研究函數(shù)的單調(diào)性和值域問題，從而加深對導(dǎo)數(shù)的理解.

2.多變量的不等式恒成立(有解)問題

(1)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；

(2)若存在x1,x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

命題“若?x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a成立”等價于“當(dāng)x∈[e,e2]時，有f(x)min≤

教學(xué)反思：這種解法主要是先轉(zhuǎn)化成一個變量的恒成立問題，再利用函數(shù)性質(zhì)去解決恒成立問題，求函數(shù)的最小值時利用分類思想，可以說這題的分類討論思想非常典型，可以把高中的知識融會貫通，給學(xué)生以醍醐灌頂?shù)母杏X，當(dāng)然這道題還可以利用變量分離思想，簡化解題步驟.

教學(xué)反思：通過分離變量，恒成立問題很容易求解，前提是變量分離以后函數(shù)的最值好求，如果最值要用羅必塔法則去求，那么這道題必須用函數(shù)性質(zhì)去研究恒成立問題，在教學(xué)中，我們要用例題充分展示兩種方法的優(yōu)劣程度，進(jìn)而提高學(xué)生的解題能力.

3.不等式恒成立(有解)問題的一般方法和主要思路

第一步：先把多變量問題分解成求每一個單變量問題的恒成立(有解)問題.

第二步：當(dāng)對每一個變量做恒成立(有解)問題時，另一個變量看成是一個參數(shù).

第三步：對每個變量研究恒成立(有解問題)時，我們可以用兩種方法考慮，(1)變量分離法，一邊是參數(shù)，另一邊是變量，盡量分離成函數(shù)的最值容易求的形式.(2)函數(shù)性質(zhì)法，研究帶有參數(shù)的函數(shù)最值問題，盡量把函數(shù)轉(zhuǎn)換成一階導(dǎo)數(shù)，按照參數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性.如果一階導(dǎo)數(shù)研究問題困難，那么可以進(jìn)行兩階求導(dǎo)，最終達(dá)到極值點(diǎn)好求，或者容易看出有極值點(diǎn)的情況，比如說二次函數(shù)，反比例函數(shù)，直線，三次函數(shù)等，如果不好求出極值點(diǎn)，對于復(fù)雜函數(shù)要利用零點(diǎn)存在定理，證明零點(diǎn)存在(即極值點(diǎn)是存在)，再去列表，研究函數(shù)單調(diào)性和最值.

第四步：分清恒成立(有解)問題對應(yīng)的函數(shù)最值，如果沒有最值要仔細(xì)考慮等號是否取得的情況.

第五步：寫出結(jié)論，檢驗(yàn)合理性.

4.填空題中恒成立(有解)問題還可以通過圖像解決

(2017揚(yáng)州市高三期末)已知函數(shù)f(x)=x(1+a|x|)(a<0)，若f(x+a)≥f(x)對任意的x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

圖1

教學(xué)反思：圖像法研究恒成立問題一般在填空題中會考察，要熟練掌握一些基本函數(shù)的圖像與性質(zhì)，大題中一般考察上面第三點(diǎn)的知識與步驟，需要課后多去反思及熟練應(yīng)用,最終達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)舉一反三的能力.

5.知識梳理，總結(jié)回顧

含參不等式的恒成立(有解)問題越來越受到高考命題者的青睞，由于新課標(biāo)高考對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的加強(qiáng)，這些不等式的恒成立(有解)問題往往與導(dǎo)數(shù)問題交織在一起，這在近年的高考試題中不難看出這個基本的命題趨勢.對含有參數(shù)的不等式，其破解方法主要有：分離參數(shù)法、函數(shù)性質(zhì)法、數(shù)形結(jié)合法等.

(1)分離參數(shù)法：分離參數(shù)法是解決含參問題的基本思想之一，對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，只要研究變量表達(dá)式的性質(zhì)就可以解決問題．

(2)函數(shù)性質(zhì)法：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，是處理含參問題的重要數(shù)學(xué)思想方法，通過求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，極值，并結(jié)合零點(diǎn)性質(zhì)確定參數(shù)的范圍.

(3)數(shù)形結(jié)合法：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其要點(diǎn)是“見數(shù)想形，以形助數(shù)”以達(dá)到解決問題的目的，數(shù)形結(jié)合是破解含參不等式恒成立問題的又一主要方法．

我們要重視方法的積累，高考復(fù)習(xí)千頭萬緒，只有夯實(shí)基礎(chǔ)，總結(jié)解題思路，才能在考試中立于不敗之地.

[1]李敏.“羅必塔法則”在函數(shù)不等式恒成立中的應(yīng)用[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2015(11)：20-22.

[2]鄭一平.常規(guī)的分離參數(shù)解法為何半途而廢[J].數(shù)學(xué)通訊，2014(4)：12-13.

[3]張惠.函數(shù)恒(能)成立的等價轉(zhuǎn)換問題[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2017(3)：4-5.